物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 21 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 21 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 3 m/s² で 12 s 加速し、次に 28 s 等速で走り、最後に 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 12 st₂ = 28 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9 kg と 5.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 9 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 25 m のがけの上から、ボールを 21 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 21 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 75 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 75 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.2 kg のボールを長さ 1.1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 7.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgr = 1.1 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1500 kg の自動車が 3° の坂を一定の 54 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 400 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1500 kgθ = 3°F_r = 400 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 2.5 mL = 1 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 14 m/s で壁に当たり、8 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 14 m/sv_out = 8 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.9 m の単振り子の小さな振れの周期が 1.74 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.9 mT = 1.74 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

500 m/s で動く質量 8 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 2.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 500 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 8 gv = 500 m/sM = 2.5 kgk = 500 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.65 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 0.65 m

f₅ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

1 ミリメートルあたり 400 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 1 の極大が、直進方向から 9.3° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 400 mm⁻¹θ₁ = 9.3°m = 1

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: t = 8.4 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/5 = 8.4 s

答え

t = 8.4 s

その瞬間、パトカーは 2v = 42 m/s で走っています。

2.運動学

答え: s = 1354 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·12 = 36 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·3·12² = 216 m

s₂ = 36·28 = 1008 m

s₃ = 36²/(2·5) = 129.6 m

全距離

s = 216 + 1008 + 129.6 = 1354 m

答え

s = 1354 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.368 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (9 − 5.5)·9.81/(9 + 5.5) = 2.368 m/s²

答え

a = 2.368 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 20.77 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 4.905)/8.5 = 6.348 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·6.348 + 4.905 = 20.77 N

答え

T = 20.77 N

5.放物運動

答え: H = 1.526 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 20° = 15.04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 20° = 5.472 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 5.472²/(2·9.81) = 1.526 m

答え

H = 1.526 m

6.放物運動

答え: H = 40.08 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 21·sin 55° = 17.2 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 17.2²/(2·9.81) = 15.08 m

地面からの高さ

H = 25 + 15.08 = 40.08 m

答え

H = 40.08 m

7.円運動

答え: v_max = 24.26 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·75) = 24.26 m/s

答え

v_max = 24.26 m/s (87.34 km/h)

8.円運動

答え: T = 12.19 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·7.5²/1.1 = 1.962 + 10.23 = 12.19 N

答え

T = 12.19 N

9.仕事とエネルギー

答え: P = 17.55 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 3° = 770.1 N

F = 770.1 + 400 = 1170 N

電力

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1170·15 = 17552 W = 17.55 kW

答え

P = 17.55 kW

10.仕事とエネルギー

答え: x = 17.72 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.1·1) = 23.54 J

最大縮み

½kx² = 23.54 → x = √(2·23.54/1500) = 0.1772 m = 17.72 cm

答え

x = 17.72 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 2.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 1)/(0.5 + 1)·4 = −1.333 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1)·4 = 2.667 m/s

答え

v′₂ = 2.667 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 1100 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(8 + 14) = 5.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 5.5/0.005 = 1100 N

答え

F_avg = 1100 N

13.ばねと振り子

答え: g = 24.78 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/1.74² = 24.78 m/s²

答え

g = 24.78 m/s²

14.ばねと振り子

答え: A = 11.3 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.008·500/2.508 = 1.595 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(500/2.508) = 14.12 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.595/14.12 = 0.113 m = 11.3 cm

答え

A = 11.3 cm

15.波・音・光学

答え: f₅ = 1319 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.65/5 = 0.26 m

振動数

f = v/λ = 343/0.26 = 1319 Hz

答え

f₅ = 1319 Hz

16.波・音・光学

答え: λ = 404 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 2.5 × 10⁻⁶·sin 9.3°/1 = 404 nm

答え

λ = 404 nm

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