物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 18 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、3.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 18 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 15 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 10 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 15 mv_0B = 10 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9.5 kg と 8 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 8 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 9.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 35 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 14 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 70°h_roof = 14 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 135 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 135 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.8 kg のボールを長さ 1.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.8 kgr = 1.5 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 8 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.3d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.3k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

水平に 37 m/s で動いている質量 13 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 12 kg の破片は前向きに 67 m/s で進み続ける。質量 1 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 13 kgu = 37 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 67 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 8 m/s で走る質量 1700 kg の自動車が、北向きに 25 m/s で走る質量 1100 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1700 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 25 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 0.9 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 0.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

400 m/s で動く質量 5 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 4 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 600 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 5 gv = 400 m/sM = 4 kgk = 600 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

高さ 1 cm の物体が、焦点距離 8 cm の薄い発散レンズの 15 cm 前にあります。像の高さ h_i を求めてください（倒立像では負）。

h_o = 1 cmd_o = 15 cmf = −8 cm

h_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、10 m/s で遠ざかる車に向けて 25 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 10.29 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/3.5 = 10.29 s

答え

t = 10.29 s

その瞬間、パトカーは 2v = 36 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 1.5 s

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

15 − ½g·t² = 10·t − ½g·t² → t = 15/10 = 1.5 s

答え

t = 1.5 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 0.8409 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (9.5 − 8)·9.81/(9.5 + 8) = 0.8409 m/s²

答え

a = 0.8409 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.597 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 0)/15 = 3.597 m/s²

答え

a = 3.597 m/s²

5.放物運動

答え: t = 2.371 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31.95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11.63 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·11.63/9.81 = 2.371 s

答え

t = 2.371 s

6.放物運動

答え: x = 74.8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 11.97 m/s, v_y = 32.89 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

14 = 32.89·t − 4.905·t²

t = (32.89 + √(32.89² − 2·9.81·14))/9.81 = 6.248 s

水平距離

x = v_x·t = 11.97·6.248 = 74.8 m

答え

x = 74.8 m

7.円運動

答え: v_max = 32.55 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·135) = 32.55 m/s

答え

v_max = 32.55 m/s (117.2 km/h)

8.円運動

答え: T = 30.38 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·6.5²/1.5 = 7.848 + 22.53 = 30.38 N

答え

T = 30.38 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 8.814 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 8.814 m/s

答え

v = 8.814 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 30.69 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.3·3) = 70.63 J

最大縮み

½kx² = 70.63 → x = √(2·70.63/1500) = 0.3069 m = 30.69 cm

答え

x = 30.69 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −323 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 13·37 = 481 kg·m/s

衝突後の運動量

481 = 12·67 + 1·v′₂

v′₂ = (481 − 804)/1 = −323 m/s

答え

v′₂ = −323 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v′ = 10.96 m/s

運動量の成分

p_x = 1700·8 = 13600 kg·m/s

p_y = 1100·25 = 27500 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 30679/2800 = 10.96 m/s

答え

v′ = 10.96 m/s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.2013 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.9/2π)² = 0.2013 m

答え

L = 0.2013 m

14.ばねと振り子

答え: A = 4.08 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.005·400/4.005 = 0.4994 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(600/4.005) = 12.24 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.4994/12.24 = 0.0408 m = 4.08 cm

答え

A = 4.08 cm

15.波・音・光学

答え: h_i = 0.3478 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/15

d_i = −5.217 cm

倍率と高さ

m = −(−5.217)/15 = 0.3478

h_i = 0.3478·1 = 0.3478 cm

答え

h_i = 0.3478 cm

16.波・音・光学

答え: f_b = 1416 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 25000·(343 − 10)/343 = 24271 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 10) = 23584 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 1416 Hz

答え

f_b = 1416 Hz

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