物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 7 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 7 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 34 m/s で打ち出し、110 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 34 m/sR = 110 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 45 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

長さ 1.4 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 35° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。小球の速さ v を求めよ。

L = 1.4 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.円運動むずかしい

質量 3 kg の台車を、摩擦のない軌道上の高さ 23 m から静かに放し、半径 5 m の鉛直なループを通過させる。g = 9.81 m/s² とする。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N_top を求めよ。

m = 3 kgh = 23 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 500 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.15 kg のボールをその上に置き、ばねを 5 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.15 kgk = 500 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

40° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 26 m/s で壁に当たり、18 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 26 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 330 N/m のばねにつけた質量 2.7 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 19 cm で振動する。つり合いの位置から 4 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 2.7 kgk = 330 N/mA = 19 cmx = 4 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 180 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 0.4 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。ばねの最大の伸び x_max を cm で求めよ。

m = 0.4 kgk = 180 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 440 Hz の音源に向かって 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.55、クラッドは n₂ = 1.45 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.55n₂ = 1.45

NA =

3溶液

1.運動学

答え: s = 19.84 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

答え

s = 19.84 m

2.運動学

答え: t = 3.532 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.532 s

答え

t = 3.532 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.896 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答え

a = 5.896 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.962 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 13.73)/10.5 = 1.962 m/s²

答え

a = 1.962 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 34.49 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·110/34² = 0.9335

位相角

2θ = 68.98° → θ = 34.49°

答え

θ = 34.49°

もう 1 つの解は 90° − θ = 55.51° です。

6.放物運動

答え: t = 4.493 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 45° = 12.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 45° = 12.02 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 45 + 12.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.02 + √(144.5 + 882.9))/9.81 = 4.493 s

答え

t = 4.493 s

7.円運動

答え: v = 2.349 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.4·sin 35° = 0.803 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.803·9.81·tan 35°) = 2.349 m/s

答え

v = 2.349 m/s

8.円運動

答え: N_top = 123.6 N

エネルギー保存からの速さ

v² = 2·9.81·(23 − 2·5) = 255.1 m²/s²

力

中心に向かう向きを正とします。

N = m·v²/R − m·g = 3·255.1/5 − 29.43 = 123.6 N

答え

N_top = 123.6 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 0.4247 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·500·0.05² = 0.625 J

高さ

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.625/1.472 = 0.4247 m

答え

h = 0.4247 m

10.仕事とエネルギー

答え: d = 9.565 m

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(4.905·(0.6428 + 0.1·0.766)) = 9.565 m

答え

d = 9.565 m

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −2.286 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 4.5)/(2.5 + 4.5)·8 = −2.286 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 4.5)·8 = 5.714 m/s

答え

v′₁ = −2.286 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: J = 15.4 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(18 + 26) = 15.4 N·s

答え

J = 15.4 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 2.053 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(330/2.7) = 11.06 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 11.06·√(0.19² − 0.04²) = 2.053 m/s

答え

v = 2.053 m/s

14.ばねと振り子

答え: x_max = 4.36 cm

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 0.4·9.81/180 = 0.0218 m = A

最下点

x_max = 2A = 0.0436 m = 4.36 cm

答え

x_max = 4.36 cm

15.波・音・光学

答え: f′ = 452.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 10)/(343 − 0)

f′ = 452.8 Hz

答え

f′ = 452.8 Hz

16.波・音・光学

答え: NA = 0.5477

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.45/1.55 = 0.9355 → θc = 69.31°

開口数

NA = √(1.55² − 1.45²) = 0.5477

答え

NA = 0.5477

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