物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 8 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 17 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 17 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 12 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 12 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、60 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 60 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

質量 1000 kg の自動車が、道路の盛り上がりの頂上を 16 m/s で通過する。盛り上がりの頂上は半径 40 m の円弧である。g = 9.81 m/s² とする。頂上で路面が自動車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 1000 kgv = 16 m/sr = 40 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 1.4 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 1.4 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2000 kg の自動車が 8° の坂を一定の 36 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 800 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 2000 kgθ = 8°F_r = 800 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 3 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 7 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 1.5 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 11 m/sv_out = 14 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.5 m の単振り子の小さな振れの周期が 1.55 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.5 mT = 1.55 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

450 m/s で動く質量 8 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 2 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1300 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 8 gv = 450 m/sM = 2 kgk = 1300 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 2 倍音が 528 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 2f₂ = 528 Hz

L = m

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 10 cm の凸面鏡の 40 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 40 cmR = 10 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: s = 39.06 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39.06 m

答え

s = 39.06 m

2.運動学

答え: h_max = 39.73 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

地面からの高さ

h_max = 25 + 14.73 = 39.73 m

答え

h_max = 39.73 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.812 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答え

a = 2.812 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 21.46 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 8.584)/7 = 3.679 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·3.679 + 8.584 = 21.46 N

答え

T = 21.46 N

5.放物運動

答え: θ = 10.79 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·60/40² = 0.3679

位相角

2θ = 21.58° → θ = 10.79°

答え

θ = 10.79°

もう 1 つの解は 90° − θ = 79.21° です。

6.放物運動

答え: x = 113.6 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 45° = 19.09 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 45° = 19.09 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 19.09·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.09 + √(364.5 + 1177))/9.81 = 5.949 s

水平距離

x = v_x·t = 19.09·5.949 = 113.6 m

答え

x = 113.6 m

7.円運動

答え: N = 3410 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での力

中心に向かう向き（下向き）を正とします。

m·g − N = m·v²/r

N = 1000·9.81 − 1000·16²/40 = 9810 − 6400 = 3410 N

答え

N = 3410 N

自動車は軽くなったように感じます：路面はその重さより小さい力で押し上げます。

8.円運動

答え: v_min = 3.706 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.4) = 3.706 m/s

答え

v_min = 3.706 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: P = 35.31 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 8° = 2731 N

F = 2731 + 800 = 3531 N

電力

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 3531·10 = 35306 W = 35.31 kW

答え

P = 35.31 kW

10.仕事とエネルギー

答え: x = 8.578 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(3 − 0.25·4.5) = 18.39 J

最大縮み

½kx² = 18.39 → x = √(2·18.39/5000) = 0.08578 m = 8.578 cm

答え

x = 8.578 cm

11.運動量と衝突

答え: v = 147.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 1.5)·1.172/0.012 = 147.7 m/s

答え

v = 147.7 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 13.75 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(14 + 11) = 13.75 N·s

答え

J = 13.75 N·s

13.ばねと振り子

答え: g = 24.65 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.5/1.55² = 24.65 m/s²

答え

g = 24.65 m/s²

14.ばねと振り子

答え: A = 7.046 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.008·450/2.008 = 1.793 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(1300/2.008) = 25.44 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.793/25.44 = 0.07046 m = 7.046 cm

答え

A = 7.046 cm

15.波・音・光学

答え: L = 0.6496 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/528 = 0.6496 m

長さ

L = nλ/2 = 2·0.6496/2 = 0.6496 m

答え

L = 0.6496 m

16.波・音・光学

答え: m = 0.1111

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = −R/2 = −5 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/40

d_i = −4.444 cm

倍率

m = −(−4.444)/40 = 0.1111

答え

m = 0.1111

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