物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.4 s で、その後、自動車は一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 54 km/ht_r = 1.4 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 10 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 10 mv_0B = 12 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 18 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 18 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 95 N が前の 10 kg のブロックを引き、9 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 9 kgm₂ = 10 kgF = 95 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 35 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

半径 100 m のカーブに 5° のバンク（傾斜）がついている。摩擦をまったく必要とせずに自動車が通過できる速さ v はいくらか。g = 9.81 m/s² とする。

r = 100 mθ = 5°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.9 kg のボールを長さ 0.8 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 7.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.9 kgr = 0.8 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 70 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.4 である。停止距離 d を求めよ。

v = 70 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 1 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

8 m/s で動いている質量 1900 kg の自動車が、静止している質量 2000 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。元の運動エネルギーの何パーセント ΔK/K が失われるか。

m₁ = 1900 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.2 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.2 kgv_in = 25 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 2.3 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 0.5 s、振幅 5 cm で単振動をしている。最大変位 5 cm から変位 3.75 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 0.5 sA = 5 cmx = 3.75 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 12 cm の薄い収束レンズの 6 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 6 cmf = 12 cm

m =

16.波・音・光学むずかしい

波長 532 nm の光が、1 ミリメートルあたり 300 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 300 mm⁻¹λ = 532 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 38.31 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 15·1.4 = 21 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6.5) = 17.31 m

合計

d = 21 + 17.31 = 38.31 m

答え

d = 38.31 m

2.運動学

答え: y = 6.594 m

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

10 − ½g·t² = 12·t − ½g·t² → t = 10/12 = 0.8333 s

出会う高さ

y = 12·0.8333 − ½·9.81·0.8333² = 6.594 m

答え

y = 6.594 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答え

a = 1.051 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 45 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 37.28)/19 = 3.038 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(3.038 + 1.962) = 45 N

答え

T = 45 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: x = 10.04 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 50° = 6.428 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 50° = 7.66 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·7.66/9.81 = 1.562 s

水平距離

x = v_x·t = 6.428·1.562 = 10.04 m

答え

x = 10.04 m

6.放物運動

答え: t = 5.493 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24.51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20.57 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 35 + 20.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.57 + √(423.1 + 686.7))/9.81 = 5.493 s

答え

t = 5.493 s

7.円運動

答え: v = 9.264 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速さ

v = √(r·g·tan θ) = √(100·9.81·tan 5°) = 9.264 m/s

答え

v = 9.264 m/s

(33.35 km/h)

8.円運動

答え: T = 72.11 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·7.5²/0.8 = 8.829 + 63.28 = 72.11 N

答え

T = 72.11 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 48.18 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.4·9.81) = 48.18 m

答え

d = 48.18 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 4.429 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.25·4) = 9.81 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

答え

v = 4.429 m/s

11.運動量と衝突

答え: ΔK/K = 51.28 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·8/3900 = 3.897 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1900·8² = 60800 J

K_after = ½·3900·3.897² = 29621 J

失われた割合

ΔK/K = 31179/60800 = 51.28 %

答え

ΔK/K = 51.28 %

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: J = 7.8 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.2·(14 + 25) = 7.8 N·s

答え

J = 7.8 N·s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.042 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

答え

T = 3.042 s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.05751 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/0.5 = 12.57 rad/s

時間について解く

0.75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.75) = 0.7227 rad

t = 0.7227/12.57 = 0.05751 s

答え

t = 0.05751 s

15.波・音・光学

答え: m = 2

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/6

d_i = −12 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −(−12)/6 = 2

答え

m = 2

16.波・音・光学

答え: θ₂ = 18.61 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·532 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.3192

θ = 18.61°

答え

θ₂ = 18.61°

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