物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.4 s で、その後、自動車は一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 120 km/ht_r = 1.4 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 40° 上向きに打ち出すと、25 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 40°R = 25 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 10 m のがけの上から、ボールを 28 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.円運動ふつう

車が半径 135 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 135 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 290 m のカーブに 18° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 290 mθ = 18°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg の小球が長さ 2 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 20° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 26 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 26 m/sv_out = 10 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 0.6 m の単振り子の小さな振れの周期が 3.82 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 0.6 mT = 3.82 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

k = 300 N/m のばねにつけた質量 3.8 kg の物体を、つり合いの位置から 13 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 3.8 kgk = 300 N/mA = 13 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 2 倍音が 528 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 2f₂ = 528 Hz

L = m

16.波・音・光学むずかしい

波長 532 nm の光が、1 ミリメートルあたり 600 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 600 mm⁻¹λ = 532 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 147.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1.4 = 46.67 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·5.5) = 101 m

合計

d = 46.67 + 101 = 147.7 m

答え

d = 147.7 m

2.運動学

答え: h_max = 9.128 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

地面からの高さ

h_max = 5 + 4.128 = 9.128 m

答え

h_max = 9.128 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.618 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答え

a = 3.618 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 18.7 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 16.19)/7.5 = 0.4578 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·0.4578 + 16.19 = 18.7 N

答え

T = 18.7 N

5.放物運動

答え: v₀ = 15.78 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·25/sin 80°) = 15.78 m/s

答え

v₀ = 15.78 m/s

6.放物運動

答え: v = 31.31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 28·cos 30° = 24.25 m/s

v_y0 = 28·sin 30° = 14 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(14² + 2·9.81·10) = 19.8 m/s

衝突時の速さ

v = √(24.25² + 19.8²) = 31.31 m/s

答え

v = 31.31 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.円運動

答え: v_max = 19.93 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·135) = 19.93 m/s

答え

v_max = 19.93 m/s (71.76 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 21.78 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(290·9.81·0.1664/0.9974) = 21.78 m/s

答え

v_min = 21.78 m/s

(78.42 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: T = 54.97 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 20°) = 2.366 m²/s²

最下点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·2.366/2 = 54.97 N

答え

T = 54.97 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 54.97 N。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 8.578 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.25·4) = 14.71 J

最大縮み

½kx² = 14.71 → x = √(2·14.71/4000) = 0.08578 m = 8.578 cm

答え

x = 8.578 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −3.2 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 4.5)/(0.5 + 4.5)·4 = −3.2 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4.5)·4 = 0.8 m/s

答え

v′₁ = −3.2 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: J = 10.8 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(10 + 26) = 10.8 N·s

答え

J = 10.8 N·s

13.ばねと振り子

答え: g = 1.623 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/3.82² = 1.623 m/s²

答え

g = 1.623 m/s²

14.ばねと振り子

答え: E = 2.535 J

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(300/3.8) = 8.885 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·300·0.13² = 2.535 J

答え

E = 2.535 J

15.波・音・光学

答え: L = 0.6496 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/528 = 0.6496 m

長さ

L = nλ/2 = 2·0.6496/2 = 0.6496 m

答え

L = 0.6496 m

16.波・音・光学

答え: θ₂ = 39.67 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/600 mm = 1.667 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·532 × 10⁻⁹/(1.667 × 10⁻⁶) = 0.6384

θ = 39.67°

答え

θ₂ = 39.67°

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