物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2.75 m/s² で一様に加速する。1400 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 11 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

自動車が、半径 115 m の円弧になっている道路の盛り上がりの頂上を通過する。g = 9.81 m/s² とする。どの速さ v_max を超えると、頂上で車輪が路面から離れるか。

r = 115 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 180 m のカーブに 8° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 180 mθ = 8°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 18 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.25d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.4）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 5 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 0.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.4d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 8 g の弾丸を、長さ 0.9 m の軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 20° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 5 kgL = 0.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.3 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 140 N/m のばねにつけた質量 0.6 kg の物体を、つり合いの位置から 16 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 0.6 kgk = 140 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 2 m の距離でのレベルは 70 dB です。吸収と反射を無視して、8 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 70 dBr₁ = 2 mr₂ = 8 m

β₂ = dB

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 60 cm の凹面鏡の 15 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 15 cmR = 60 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: v = 87.75 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·1400) = 87.75 m/s

答え

v = 87.75 m/s

(315.9 km/h)

2.運動学

答え: t = 4.546 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.546 s

答え

t = 4.546 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.02 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²

答え

a = 4.02 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 37.95 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 8.339)/14.5 = 3.484 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·3.484 + 8.339 = 37.95 N

答え

T = 37.95 N

5.放物運動

答え: H = 11.47 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

答え

H = 11.47 m

6.放物運動

答え: x = 16.34 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 60° = 5.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 60° = 9.526 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 9.526·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.526 + √(90.75 + 294.3))/9.81 = 2.971 s

水平距離

x = v_x·t = 5.5·2.971 = 16.34 m

答え

x = 16.34 m

7.円運動

答え: v_max = 33.59 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

垂直抗力 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·115) = 33.59 m/s

答え

v_max = 33.59 m/s

(120.9 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 22.89 m/s

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(180·9.81·0.2877/0.9694) = 22.89 m/s

答え

v_max = 22.89 m/s

(82.41 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 40.01 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.25·8.891 = 2.223 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 2.223·18 = 40.01 J

答え

W_f = 40.01 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 1.716 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 49.05·0.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.4·49.05·0.5 = 9.81 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 14.71 → v = √(2·14.71/10) = 1.716 m/s

答え

v = 1.716 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 9.692 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 3)/(3.5 + 3)·9 = 0.6923 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 3)·9 = 9.692 m/s

答え

v′₂ = 9.692 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 646 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 20°) = 0.05428 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.05428) = 1.032 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 5.008·1.032/0.008 = 646 m/s

答え

v = 646 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 2.287 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.3/9.81) = 2.287 s

答え

T = 2.287 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 37.33 m/s²

角周波数

ω = √(140/0.6) = 15.28 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.16·15.28² = 37.33 m/s²

答え

a_max = 37.33 m/s²

15.波・音・光学

答え: β₂ = 57.96 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (2/8)² = 0.0625

新しいレベル

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.0625) = 57.96 dB

答え

β₂ = 57.96 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

16.波・音・光学

答え: m = 2

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 30 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/15

d_i = −30 cm

倍率

m = −(−30)/15 = 2

答え

m = 2

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