物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 11 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 11 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 70° 上向きに打ち出すと、80 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 70°R = 80 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 3.1 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.6 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の角速度 ω を rad/s で求めよ。

r = 3.1 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.円運動むずかしい

半径 200 m のカーブに 18° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 200 mθ = 18°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg のブロックが水平と 20° をなす斜面を 5 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.2d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 2 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 6 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 5 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 2 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 16 m/s で壁に当たり、20 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 16 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.7 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 380 N/m のばねにつけた質量 2.2 kg の物体を、つり合いの位置から 8 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 2.2 kgk = 380 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、42° を超えるすべての入射角で、空気（n = 1.00）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 42°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、10 m/s で近づいてくる車に向けて 35 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.086 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/4.5 = 3.086 s

答え

t = 3.086 s

2.運動学

答え: t = 2.63 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.63 s

答え

t = 2.63 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.368 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答え

a = 2.368 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 39.79 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 19.13)/12.5 = 3.178 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·3.178 + 19.13 = 39.79 N

答え

T = 39.79 N

5.放物運動

答え: v₀ = 34.94 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·80/sin 140°) = 34.94 m/s

答え

v₀ = 34.94 m/s

6.放物運動

答え: t = 4.195 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 17·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17 + √(289 + 294.3))/9.81 = 4.195 s

答え

t = 4.195 s

7.円運動

答え: ω = 2.297 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·3.1)) = 2.297 rad/s

答え

ω = 2.297 rad/s

8.円運動

答え: v_min = 20.67 m/s

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(200·9.81·0.2139/0.982) = 20.67 m/s

答え

v_min = 20.67 m/s

(74.43 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 18.44 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9397 = 18.44 N

F = μN = 0.2·18.44 = 3.687 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 3.687·5 = 18.44 J

答え

W_f = 18.44 J

10.仕事とエネルギー

答え: N = 49.05 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 4) = 39.24 m²/s²

最高点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·39.24/2 − 49.05 = 49.05 N

答え

N = 49.05 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 5.714 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2 − 1.5)/(2 + 1.5)·5 = 0.7143 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1.5)·5 = 5.714 m/s

答え

v′₂ = 5.714 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 135 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(20 + 16) = 5.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 5.4/0.04 = 135 N

答え

F_avg = 135 N

13.ばねと振り子

答え: T = 2.616 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.7/9.81) = 2.616 s

答え

T = 2.616 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 13.82 m/s²

角周波数

ω = √(380/2.2) = 13.14 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.08·13.14² = 13.82 m/s²

答え

a_max = 13.82 m/s²

15.波・音・光学

答え: n₁ = 1.494

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.6691 = 1.494

答え

n₁ = 1.494

16.波・音・光学

答え: f_b = 2102 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 35000·(343 + 10)/343 = 36020 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 10) = 37102 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 2102 Hz

答え

f_b = 2102 Hz

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