物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 15 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

35° の斜面上にある質量 6 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 6.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 6.5 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s で打ち出し、80 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 38 m/sR = 80 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 45 m のがけの上から、ボールを 25 m/s、水平から 40° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 25 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

長さ 1.6 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 30° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。小球の速さ v を求めよ。

L = 1.6 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.円運動むずかしい

長さ 1.1 m の軽い糸につけた質量 0.8 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 9.5 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 0.8 kgr = 1.1 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 70 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.7 である。停止距離 d を求めよ。

v = 70 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.3）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 6 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 2 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 30 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 30 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 2.4 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 2.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 200 N/m のばねにつけた質量 1.4 kg の物体を、つり合いの位置から 10 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 1.4 kgk = 200 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 5 cm の薄い収束レンズの 12 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 12 cmf = 5 cm

m =

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 16 cm の凹面鏡の 40 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 40 cmR = 16 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: t = 2.525 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/5.5 = 2.525 s

答え

t = 2.525 s

2.運動学

答え: t = 3.852 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.852 s

答え

t = 3.852 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 51.92 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 33.76 N

μ·m₁·g·cos θ = 7.232 N

系の加速度

a = (63.77 − 33.76 − 7.232)/12.5 = 1.822 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6.5·(9.81 − 1.822) = 51.92 N

答え

T = 51.92 N

5.放物運動

答え: θ = 16.46 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·80/38² = 0.5435

位相角

2θ = 32.92° → θ = 16.46°

答え

θ = 16.46°

もう 1 つの解は 90° − θ = 73.54° です。

6.放物運動

答え: α = 60.45 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 25·cos 40° = 19.15 m/s

v_y0 = 25·sin 40° = 16.07 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(16.07² + 2·9.81·45) = 33.78 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 33.78/19.15 → α = 60.45°

答え

α = 60.45°

7.円運動

答え: v = 2.129 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.6·sin 30° = 0.8 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.8·9.81·tan 30°) = 2.129 m/s

答え

v = 2.129 m/s

8.円運動

答え: T_top = 26.4 N

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·1.1 = 47.09 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.8·47.09/1.1 − 0.8·9.81 = 26.4 N

答え

T_top = 26.4 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 27.53 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.7·9.81) = 27.53 m

答え

d = 27.53 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 2.712 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 58.86·2 = 117.7 J

μ·m₁g·d = 0.3·98.1·2 = 58.86 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 58.86 → v = √(2·58.86/16) = 2.712 m/s

答え

v = 2.712 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 2.571 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 1)/(2.5 + 1)·6 = 2.571 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1)·6 = 8.571 m/s

答え

v′₁ = 2.571 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 22.05 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(19 + 30) = 22.05 N·s

答え

J = 22.05 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 1.431 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.4/2π)² = 1.431 m

答え

L = 1.431 m

14.ばねと振り子

答え: a_max = 14.29 m/s²

角周波数

ω = √(200/1.4) = 11.95 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.1·11.95² = 14.29 m/s²

答え

a_max = 14.29 m/s²

15.波・音・光学

答え: m = −0.7143

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/12

d_i = 8.571 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −8.571/12 = −0.7143

答え

m = −0.7143

16.波・音・光学

答え: d_i = 10 cm

焦点距離

f = R/2 = 8 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/40

d_i = 10 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 10 cm

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