物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 20 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 30 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 20 mv_0B = 30 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4.5 kg と 1.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 5 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 5 m のがけの上から、ボールを 35 m/s、水平から 35° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

質量 900 kg の自動車が、道路の盛り上がりの頂上を 22 m/s で通過する。盛り上がりの頂上は半径 80 m の円弧である。g = 9.81 m/s² とする。頂上で路面が自動車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 900 kgv = 22 m/sr = 80 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.円運動むずかしい

質量 4 kg の台車を、摩擦のない軌道上の高さ 35.25 m から静かに放し、半径 7.5 m の鉛直なループを通過させる。g = 9.81 m/s² とする。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N_top を求めよ。

m = 4 kgh = 35.25 mR = 7.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 30° をなす斜面を 2 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 30°μ = 0.35d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

30° の斜面の下端にあるばね定数 800 N/m のばねを、質量 3 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 3 kgk = 800 N/mx = 12 cmθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 23 m/s で壁に当たり、15 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 23 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 200 N/m のばねにつけた質量 0.5 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 5 cm で振動する。つり合いの位置から 4 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 0.5 kgk = 200 N/mA = 5 cmx = 4 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 340 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 4 cm で振動する。おもりがつり合いの位置から 1 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。

k = 340 N/mA = 4 cmx = 1 cm

U = J

15.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.65 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 0.65 m

f₅ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、幅 0.05 mm の単スリットを通ります。3 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 550 nma = 0.05 mmL = 3 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 22.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·5) = 22.5 m

答え

s = 22.5 m

2.運動学

答え: y = 17.82 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

20 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 20/30 = 0.6667 s

出会う高さ

y = 30·0.6667 − ½·9.81·0.6667² = 17.82 m

答え

y = 17.82 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 22.07 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (4.5 − 1.5)·9.81/(4.5 + 1.5) = 4.905 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1.5·(9.81 + 4.905) = 22.07 N

答え

T = 22.07 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 1.778 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·7.029) = 1.778 m

答え

d = 1.778 m

5.放物運動

答え: x = 31.24 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 65° = 8.452 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 65° = 18.13 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·18.13/9.81 = 3.695 s

水平距離

x = v_x·t = 8.452·3.695 = 31.24 m

答え

x = 31.24 m

6.放物運動

答え: H = 25.54 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 35·sin 35° = 20.08 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 20.08²/(2·9.81) = 20.54 m

地面からの高さ

H = 5 + 20.54 = 25.54 m

答え

H = 25.54 m

7.円運動

答え: N = 3384 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での力

中心に向かう向き（下向き）を正とします。

m·g − N = m·v²/r

N = 900·9.81 − 900·22²/80 = 8829 − 5445 = 3384 N

答え

N = 3384 N

自動車は軽くなったように感じます：路面はその重さより小さい力で押し上げます。

8.円運動

答え: N_top = 172.7 N

エネルギー保存からの速さ

v² = 2·9.81·(35.25 − 2·7.5) = 397.3 m²/s²

力

中心に向かう向きを正とします。

N = m·v²/R − m·g = 4·397.3/7.5 − 39.24 = 172.7 N

答え

N_top = 172.7 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 2.973 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.866 = 4.248 N

F = μN = 0.35·4.248 = 1.487 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.487·2 = 2.973 J

答え

W_f = 2.973 J

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.3107 m

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·800·0.12² = 5.76 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5.76/(29.43·(0.5 + 0.15·0.866)) = 0.3107 m

答え

d = 0.3107 m

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 2.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·4 = −1.333 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·4 = 2.667 m/s

答え

v′₂ = 2.667 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 5.7 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(15 + 23) = 5.7 N·s

答え

J = 5.7 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.6 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(200/0.5) = 20 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 20·√(0.05² − 0.04²) = 0.6 m/s

答え

v = 0.6 m/s

14.ばねと振り子

答え: U = 0.017 J

全エネルギー

E = ½·k·A² = ½·340·0.04² = 0.272 J

x でのばねのエネルギー

U = ½·k·x² = ½·340·0.01² = 0.017 J

答え

U = 0.017 J

15.波・音・光学

答え: f₅ = 659.6 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.65/5 = 0.52 m

振動数

f = v/λ = 343/0.52 = 659.6 Hz

答え

f₅ = 659.6 Hz

16.波・音・光学

答え: w = 66 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·3/(0.05 × 10⁻³) = 33 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 66 mm

答え

w = 66 mm

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