物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.6 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 45 km/ht_r = 0.6 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2.5 s の間、一定の上向きの加速度 24 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 24 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

35° の斜面上にある質量 10 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 9 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

長さ 0.8 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 40° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 0.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = s

8.円運動むずかしい

質量 1.5 kg のボールを長さ 0.8 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 3 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.5 kgr = 0.8 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1800 kg の自動車が 8° の坂を一定の 72 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 800 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1800 kgθ = 8°F_r = 800 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.2）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 5 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 2 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 12 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 12 m/sv_out = 11 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 0.8 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 0.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 2.5 s、振幅 16 cm で単振動をしている。最大変位 16 cm から変位 12 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 2.5 sA = 16 cmx = 12 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.5 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 0.5 m

f₅ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

1 ミリメートルあたり 400 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 2 の極大が、直進方向から 21.1° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 400 mm⁻¹θ₂ = 21.1°m = 2

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: d = 20.52 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 12.5·0.6 = 7.5 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

合計

d = 7.5 + 13.02 = 20.52 m

答え

d = 20.52 m

2.運動学

答え: h_max = 258.5 m

動力飛行段階

v₁ = 24·2.5 = 60 m/s

h₁ = ½·24·2.5² = 75 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9.81) = 183.5 m

h_max = 75 + 183.5 = 258.5 m

答え

h_max = 258.5 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.257 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答え

a = 3.257 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.051 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 56.27 N

μ·m₁·g·cos θ = 12.05 N

系の加速度

a = (88.29 − 56.27 − 12.05)/19 = 1.051 m/s²

答え

a = 1.051 m/s²

5.放物運動

答え: x = 25.3 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 65° = 7.607 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 65° = 16.31 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·16.31/9.81 = 3.326 s

水平距離

x = v_x·t = 7.607·3.326 = 25.3 m

答え

x = 25.3 m

6.放物運動

答え: x = 63.68 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 30° = 14.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 30° = 8.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 8.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.5 + √(72.25 + 1079))/9.81 = 4.325 s

水平距離

x = v_x·t = 14.72·4.325 = 63.68 m

答え

x = 63.68 m

7.円運動

答え: T = 1.57 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 0.8·sin 40° = 0.5142 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5142·9.81·tan 40°) = 2.057 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.5142/2.057 = 1.57 s

答え

T = 1.57 s

8.円運動

答え: T = 31.59 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·3²/0.8 = 14.71 + 16.88 = 31.59 N

答え

T = 31.59 N

9.仕事とエネルギー

答え: P = 65.15 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 8° = 2458 N

F = 2458 + 800 = 3258 N

電力

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 3258·20 = 65150 W = 65.15 kW

答え

P = 65.15 kW

10.仕事とエネルギー

答え: v = 3.204 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 49.05·2 = 98.1 J

μ·m₁g·d = 0.2·78.48·2 = 31.39 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 66.71 → v = √(2·66.71/13) = 3.204 m/s

答え

v = 3.204 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 13.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·9 = 4.5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·9 = 13.5 m/s

答え

v′₂ = 13.5 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 6.9 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(11 + 12) = 6.9 N·s

答え

J = 6.9 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.159 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.8/2π)² = 0.159 m

答え

L = 0.159 m

14.ばねと振り子

答え: t = 0.2876 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/2.5 = 2.513 rad/s

時間について解く

0.75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.75) = 0.7227 rad

t = 0.7227/2.513 = 0.2876 s

答え

t = 0.2876 s

15.波・音・光学

答え: f₅ = 1715 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.5/5 = 0.2 m

振動数

f = v/λ = 343/0.2 = 1715 Hz

答え

f₅ = 1715 Hz

16.波・音・光学

答え: λ = 450 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 2.5 × 10⁻⁶·sin 21.1°/2 = 450 nm

答え

λ = 450 nm

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