物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 1.6 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 1.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 15 kg のブロックが、水平と 35° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

高さ 55 m のがけの上から、ボールを 20 m/s、水平から 50° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 20 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

車が半径 115 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 115 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.5 kg のボールを長さ 1.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgr = 1.5 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1200 kg の自動車が 3° の坂を一定の 36 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 550 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1200 kgθ = 3°F_r = 550 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.3k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 25 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 4.5 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 17 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 17 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 100 N/m のばねにつけた質量 2.6 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 15 cm で振動する。つり合いの位置から 3 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 2.6 kgk = 100 N/mA = 15 cmx = 3 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 190 N/m のばねにつけた質量 2.4 kg の物体を、つり合いの位置から 17 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 2.4 kgk = 190 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.75 m です。音速は 343 m/s です。その第 4 倍音の振動数 f₄ を求めてください。

v = 343 m/sn = 4L = 0.75 m

f₄ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、幅 0.12 mm の単スリットを通ります。1 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 600 nma = 0.12 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 1.852 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/7.5 = 1.852 s

答え

t = 1.852 s

2.運動学

答え: d = 12.01 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 548.8 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·548.8))/(2·4.905) = 1.565 s

深さ

d = ½·9.81·1.565² = 12.01 m

答え

d = 12.01 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.627 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答え

a = 5.627 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 44.86 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 25.02)/14.5 = 2.334 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·2.334 + 25.02 = 44.86 N

答え

T = 44.86 N

5.放物運動

答え: t = 1.637 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 35° = 11.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 35° = 8.03 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·8.03/9.81 = 1.637 s

答え

t = 1.637 s

6.放物運動

答え: α = 70.47 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 20·cos 50° = 12.86 m/s

v_y0 = 20·sin 50° = 15.32 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(15.32² + 2·9.81·55) = 36.25 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 36.25/12.86 → α = 70.47°

答え

α = 70.47°

7.円運動

答え: v_max = 18.4 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·115) = 18.4 m/s

答え

v_max = 18.4 m/s (66.23 km/h)

8.円運動

答え: T = 16.91 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·6²/1.5 = 4.905 + 12 = 16.91 N

答え

T = 16.91 N

9.仕事とエネルギー

答え: P = 11.66 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 3° = 616.1 N

F = 616.1 + 550 = 1166 N

電力

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1166·10 = 11661 W = 11.66 kW

答え

P = 11.66 kW

10.仕事とエネルギー

答え: v = 8.747 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.3·2) = 76.52 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.9) = 8.747 m/s

答え

v = 8.747 m/s

11.運動量と衝突

答え: v = 998.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·2.215/0.01 = 998.8 m/s

答え

v = 998.8 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 8.25 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(16 + 17) = 8.25 N·s

答え

J = 8.25 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.9115 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(100/2.6) = 6.202 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 6.202·√(0.15² − 0.03²) = 0.9115 m/s

答え

v = 0.9115 m/s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 1.513 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(190/2.4) = 8.898 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.17·8.898 = 1.513 m/s

答え

v_max = 1.513 m/s

15.波・音・光学

答え: f₄ = 914.7 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.75/4 = 0.375 m

振動数

f = v/λ = 343/0.375 = 914.7 Hz

答え

f₄ = 914.7 Hz

16.波・音・光学

答え: w = 10 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·1/(0.12 × 10⁻³) = 5 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 10 mm

答え

w = 10 mm

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