物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.7 s で、その後、自動車は一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 50 km/ht_r = 0.7 sa = −4 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1 m/s² で 12 s 加速し、次に 15 s 等速で走り、最後に 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 12 st₂ = 15 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 12 kg のブロックが、水平と 20° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 12 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 26 m/s、水平から 55° 上向きに、45 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 26 m/sθ = 55°x = 45 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 40 m のがけの上から、ボールを 35 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 125 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 125 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.4 kg のボールを長さ 1.2 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 4 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.4 kgr = 1.2 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg の小球が長さ 1 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 30° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 2 kgL = 1 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

水平に 20 m/s で動いている質量 17 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 7 kg の破片は前向きに 36 m/s で進み続ける。質量 10 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 17 kgu = 20 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 36 m/sm₂ = 10 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 8 m/s で走る質量 1500 kg の自動車が、北向きに 11 m/s で走る質量 900 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1500 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 11 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 370 N/m のばねにつけた質量 0.8 kg のおもりを正の向きに 15 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 1.25 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 0.8 kgk = 370 N/mA = 15 cmt = 1.25 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

k = 240 N/m のばねにつけた質量 2.4 kg の物体を、つり合いの位置から 17 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 2.4 kgk = 240 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

光がクラウンガラス（n = 1.50）の中を、グリセリン（n = 1.47）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.50n₂ = 1.47

θ_c = °

16.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 25 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 8 cm、レンズ 2 は f₂ = −15 cm です。物体はレンズ 1 の 18 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 8 cmf₂ = −15 cms = 25 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 33.83 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 13.89·0.7 = 9.722 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4) = 24.11 m

合計

d = 9.722 + 24.11 = 33.83 m

答え

d = 33.83 m

2.運動学

答え: s = 266.4 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·12 = 12 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·1·12² = 72 m

s₂ = 12·15 = 180 m

s₃ = 12²/(2·5) = 14.4 m

全距離

s = 72 + 180 + 14.4 = 266.4 m

答え

s = 266.4 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.355 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0) = 3.355 m/s²

答え

a = 3.355 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.679 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 3.679)/3 = 3.679 m/s²

答え

a = 3.679 m/s²

5.放物運動

答え: y = 19.61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 26·cos 55° = 14.91 m/s

t = x/v_x = 45/14.91 = 3.018 s

その時刻での高さ

y = 21.3·3.018 − ½·9.81·3.018² = 19.61 m

答え

y = 19.61 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: H = 51.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 35·sin 25° = 14.79 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 14.79²/(2·9.81) = 11.15 m

地面からの高さ

H = 40 + 11.15 = 51.15 m

答え

H = 51.15 m

7.円運動

答え: v_max = 19.18 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·125) = 19.18 m/s

答え

v_max = 19.18 m/s (69.05 km/h)

8.円運動

答え: T = 9.257 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·4²/1.2 = 3.924 + 5.333 = 9.257 N

答え

T = 9.257 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 24.88 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 30°) = 2.629 m²/s²

最下点での力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·2.629/1 = 24.88 N

答え

T = 24.88 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 24.88 N。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 21.01 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(1.5 − 0.25·1.5) = 55.18 J

最大縮み

½kx² = 55.18 → x = √(2·55.18/2500) = 0.2101 m = 21.01 cm

答え

x = 21.01 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 17·20 = 340 kg·m/s

衝突後の運動量

340 = 7·36 + 10·v′₂

v′₂ = (340 − 252)/10 = 8.8 m/s

答え

v′₂ = 8.8 m/s

12.運動量と衝突

答え: v′ = 6.482 m/s

運動量の成分

p_x = 1500·8 = 12000 kg·m/s

p_y = 900·11 = 9900 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 15557/2400 = 6.482 m/s

答え

v′ = 6.482 m/s

13.ばねと振り子

答え: x = −2.667 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(370/0.8) = 21.51 rad/s

ω·t = 21.51·1.25 = 26.88 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(26.88) = −2.667 cm

答え

x = −2.667 cm

14.ばねと振り子

答え: a_max = 17 m/s²

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(240/2.4) = 10 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.17·10² = 17 m/s²

答え

a_max = 17 m/s²

15.波・音・光学

答え: θ_c = 78.52 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/1.50 = 0.98

臨界角

θc = arcsin(0.98) = 78.52°

答え

θ_c = 78.52°

16.波・音・光学

答え: d_i2 = −6.211 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/8 − 1/18 → d_i1 = 14.4 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 25 − 14.4 = 10.6 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/10.6 → d_i2 = −6.211 cm

答え

d_i2 = −6.211 cm

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