物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 3.5 m/s² で一様に加速する。1100 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1.5 s の間、一定の上向きの加速度 36 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 36 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg のブロックが、水平と 40° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 35° 上向きに打ち出すと、55 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 35°R = 55 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 60 m のがけの上から、ボールを 17 m/s、水平から 35° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 35°h = 60 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.円運動ふつう

車が半径 75 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 75 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.3 kg のボールを長さ 1.2 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 4 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.3 kgr = 1.2 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 400 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.15 kg のボールをその上に置き、ばねを 4 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.15 kgk = 400 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

30° の斜面の下端にあるばね定数 1000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 5 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 5 cmθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

9 m/s で動いている質量 1500 kg の自動車が、静止している質量 1600 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1500 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 8 m/s で壁に当たり、6 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 8 m/sv_out = 6 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

k = 220 N/m のばねにつけた質量 2.2 kg のおもりを正の向きに 6 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.5 s での速度 v を符号をつけて求めよ。

m = 2.2 kgk = 220 N/mA = 6 cmt = 0.5 s

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 100 N/m のばねにつけた質量 2.3 kg の物体を、つり合いの位置から 8 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 2.3 kgk = 100 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 1 m の距離でのレベルは 80 dB です。吸収と反射を無視して、2 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 80 dBr₁ = 1 mr₂ = 2 m

β₂ = dB

16.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、0.2 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。中央の明線から 2 番目の明線までの距離 y₂ を求めてください。

λ = 500 nmd = 0.2 mmL = 2.5 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.運動学

答え: v = 87.75 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1100) = 87.75 m/s

答え

v = 87.75 m/s

(315.9 km/h)

2.運動学

答え: h_max = 189.1 m

動力飛行段階

v₁ = 36·1.5 = 54 m/s

h₁ = ½·36·1.5² = 40.5 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 54²/(2·9.81) = 148.6 m

h_max = 40.5 + 148.6 = 189.1 m

答え

h_max = 189.1 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.306 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答え

a = 6.306 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 6.622 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 2.943)/4 = 6.622 m/s²

答え

a = 6.622 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 23.96 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·55/sin 70°) = 23.96 m/s

答え

v₀ = 23.96 m/s

6.放物運動

答え: v = 38.29 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 17·cos 35° = 13.93 m/s

v_y0 = 17·sin 35° = 9.751 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.751² + 2·9.81·60) = 35.67 m/s

衝突時の速さ

v = √(13.93² + 35.67²) = 38.29 m/s

答え

v = 38.29 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.円運動

答え: v_max = 21.01 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·75) = 21.01 m/s

答え

v_max = 21.01 m/s (75.64 km/h)

8.円運動

答え: T = 30.09 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·4²/1.2 = 12.75 + 17.33 = 30.09 N

答え

T = 30.09 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 0.2175 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·400·0.04² = 0.32 J

高さ

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.32/1.472 = 0.2175 m

答え

h = 0.2175 m

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.3786 m

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1000·0.05² = 1.25 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 1.25/(4.905·(0.5 + 0.2·0.866)) = 0.3786 m

答え

d = 0.3786 m

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 31355 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·9/3100 = 4.355 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1500·9² = 60750 J

K_after = ½·3100·4.355² = 29395 J

失われたエネルギー

ΔK = 60750 − 29395 = 31355 J

答え

ΔK = 31355 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 420 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(6 + 8) = 4.2 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 4.2/0.01 = 420 N

答え

F_avg = 420 N

13.ばねと振り子

答え: v = 0.5754 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(220/2.2) = 10 rad/s

ω·t = 10·0.5 = 5 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.06·10·sin(5) = 0.5754 m/s

答え

v = 0.5754 m/s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 3.478 m/s²

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(100/2.3) = 6.594 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.08·6.594² = 3.478 m/s²

答え

a_max = 3.478 m/s²

15.波・音・光学

答え: β₂ = 73.98 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (1/2)² = 0.25

新しいレベル

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0.25) = 73.98 dB

答え

β₂ = 73.98 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

16.波・音・光学

答え: y₂ = 12.5 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·2.5/(0.2 × 10⁻³) = 6.25 mm

2 番目の縞

y₂ = 2·6.25 = 12.5 mm

答え

y₂ = 12.5 mm

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