物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.3 s で、その後、自動車は一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 90 km/ht_r = 1.3 sa = −4 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 7 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s、水平から 35° 上向きに、111 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 38 m/sθ = 35°x = 111 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 21 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 1.7 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の回転数 n を毎分回転数で求めよ。

r = 1.7 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.円運動むずかしい

半径 210 m のカーブに 20° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 210 mθ = 20°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 100 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.7 である。停止距離 d を求めよ。

v = 100 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 8 g の弾丸を、長さ 1.7 m の軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 15° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 3 kgL = 1.7 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 500 N/m のばねにつけた質量 1.3 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 19 cm で振動する。つり合いの位置から 7 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 1.3 kgk = 500 N/mA = 19 cmx = 7 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 310 N/m のばねにつけた質量 3.5 kg の物体を、つり合いの位置から 2 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 3.5 kgk = 310 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

800 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 800 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、0.1 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 3 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 600 nmd = 0.1 mmL = 3 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 110.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 25·1.3 = 32.5 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4) = 78.13 m

合計

d = 32.5 + 78.13 = 110.6 m

答え

d = 110.6 m

2.運動学

答え: t = 4.761 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.761 s

答え

t = 4.761 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.216 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

答え

a = 3.216 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 25.23 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 0)/10.5 = 4.204 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·4.204 + 0 = 25.23 N

答え

T = 25.23 N

5.放物運動

答え: y = 15.35 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 38·cos 35° = 31.13 m/s

t = x/v_x = 111/31.13 = 3.566 s

その時刻での高さ

y = 21.8·3.566 − ½·9.81·3.566² = 15.35 m

答え

y = 15.35 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: t = 4.402 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 60° = 10.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 60° = 18.19 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 18.19·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.19 + √(330.8 + 294.3))/9.81 = 4.402 s

答え

t = 4.402 s

7.円運動

答え: n = 36.27 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·1.7)) = 3.798 rad/s

回転数

n = ω·60/(2π) = 36.27 rpm

答え

n = 36.27 rpm

8.円運動

答え: v_min = 14.67 m/s

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(210·9.81·0.1071/1.025) = 14.67 m/s

答え

v_min = 14.67 m/s

(52.81 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: d = 56.18 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.7·9.81) = 56.18 m

答え

d = 56.18 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 22.15 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(1 − 0.1·2) = 19.62 J

最大縮み

½kx² = 19.62 → x = √(2·19.62/800) = 0.2215 m = 22.15 cm

答え

x = 22.15 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 11.29 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 4.5)/(4 + 4.5)·12 = −0.7059 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4.5)·12 = 11.29 m/s

答え

v′₂ = 11.29 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 400.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 15°) = 0.05793 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.05793) = 1.066 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 3.008·1.066/0.008 = 400.8 m/s

答え

v = 400.8 m/s

13.ばねと振り子

答え: v = 3.464 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(500/1.3) = 19.61 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 19.61·√(0.19² − 0.07²) = 3.464 m/s

答え

v = 3.464 m/s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 1.771 m/s²

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(310/3.5) = 9.411 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.02·9.411² = 1.771 m/s²

答え

a_max = 1.771 m/s²

15.波・音・光学

答え: f′ = 849.5 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 800·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 849.5 Hz

答え

f′ = 849.5 Hz

16.波・音・光学

答え: Δy = 18 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·3/(0.1 × 10⁻³) = 18 mm

答え

Δy = 18 mm

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