物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 240 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 1400 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1400 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 13 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 13 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 15 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 15 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 140 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 140 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.2 kg のボールを長さ 0.6 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.2 kgr = 0.6 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 17 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 45°μ = 0.1d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg の台車が、半径 1 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 3 m から静かに放される。ループの最高点での台車の速さ v を求めよ。

m = 10 kgh = 3 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

質量 20 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 8 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 3 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.6 kg のボールが 22 m/s で壁に当たり、17 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.6 kgv_in = 22 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 0.2 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 2.6 s、振幅 17 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 13.6 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 2.6 sA = 17 cmx = 13.6 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

1200 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 34 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、0.3 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。中央の明線から 5 番目の明線までの距離 y₅ を求めてください。

λ = 550 nmd = 0.3 mmL = 2.5 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.587 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·1400) = 1.587 m/s²

答え

a = 1.587 m/s²

2.運動学

答え: t = 3.943 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.943 s

答え

t = 3.943 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.243 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

答え

a = 6.243 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 7.652 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 0.981)/5 = 7.652 m/s²

答え

a = 7.652 m/s²

5.放物運動

答え: t = 4.456 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 40° = 26.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 40° = 21.85 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·21.85/9.81 = 4.456 s

答え

t = 4.456 s

6.放物運動

答え: x = 34.81 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 35° = 12.29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 35° = 8.604 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 8.604·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.604 + √(74.02 + 294.3))/9.81 = 2.833 s

水平距離

x = v_x·t = 12.29·2.833 = 34.81 m

答え

x = 34.81 m

7.円運動

答え: v_max = 26.2 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·140) = 26.2 m/s

答え

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.円運動

答え: T = 139.8 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·8²/0.6 = 11.77 + 128 = 139.8 N

答え

T = 139.8 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 5.896 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.7071 = 3.468 N

F = μN = 0.1·3.468 = 0.3468 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 0.3468·17 = 5.896 J

答え

W_f = 5.896 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 4.429 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3 − 2) = 19.62 m²/s²

v = 4.429 m/s

答え

v = 4.429 m/s

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v = 189.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3)·1.253/0.02 = 189.2 m/s

答え

v = 189.2 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 23.4 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.6·(17 + 22) = 23.4 N·s

答え

J = 23.4 N·s

13.ばねと振り子

答え: T = 0.8971 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

答え

T = 0.8971 s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.3837 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/2.6 = 2.417 rad/s

時間について解く

0.8 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.8) = 0.9273 rad

t = 0.9273/2.417 = 0.3837 s

答え

t = 0.3837 s

15.波・音・光学

答え: f′ = 1092 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 0)/(343 + 34)

f′ = 1092 Hz

答え

f′ = 1092 Hz

16.波・音・光学

答え: y₅ = 22.92 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2.5/(0.3 × 10⁻³) = 4.583 mm

5 番目の縞

y₅ = 5·4.583 = 22.92 mm

答え

y₅ = 22.92 mm

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