物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2 m/s² で一様に加速する。1000 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.3 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.3 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 20 N が前の 11 kg のブロックを引き、4 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 11 kgF = 20 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 38 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 50 m のがけの上から、ボールを 14 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 14 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

長さ 1.1 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 60° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。小球の速さ v を求めよ。

L = 1.1 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 0.6 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2000 kg の自動車が 3° の坂を一定の 54 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 400 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 2000 kgθ = 3°F_r = 400 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 2.5 mL = 5 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 30 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 30 m/sv_out = 11 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 410 N/m のばねにつけた質量 1.5 kg の物体を、つり合いの位置から 12 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 1.5 kgk = 410 N/mA = 12 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

高さ 4 cm の物体が、焦点距離 15 cm の薄い発散レンズの 10 cm 前にあります。像の高さ h_i を求めてください（倒立像では負）。

h_o = 4 cmd_o = 10 cmf = −15 cm

h_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 30 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 12 cm、レンズ 2 は f₂ = 12 cm です。物体はレンズ 1 の 25 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 12 cmf₂ = 12 cms = 30 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: v = 63.25 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2·1000) = 63.25 m/s

答え

v = 63.25 m/s

(227.7 km/h)

2.運動学

答え: d = 48.9 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.3 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1132 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1132))/(2·4.905) = 3.157 s

深さ

d = ½·9.81·3.157² = 48.9 m

答え

d = 48.9 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答え

a = 1.051 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 5.333 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (20 − 14.71)/15 = 0.3523 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(0.3523 + 0.981) = 5.333 N

答え

T = 5.333 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: H = 8.609 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 20° = 35.71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 20° = 13 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 13²/(2·9.81) = 8.609 m

答え

H = 8.609 m

6.放物運動

答え: α = 69.3 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 14·cos 30° = 12.12 m/s

v_y0 = 14·sin 30° = 7 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7² + 2·9.81·50) = 32.09 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 32.09/12.12 → α = 69.3°

答え

α = 69.3°

7.円運動

答え: v = 4.023 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.1·sin 60° = 0.9526 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.9526·9.81·tan 60°) = 4.023 m/s

答え

v = 4.023 m/s

8.円運動

答え: v_min = 2.426 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答え

v_min = 2.426 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: P = 21.4 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 3° = 1027 N

F = 1027 + 400 = 1427 N

電力

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1427·15 = 21402 W = 21.4 kW

答え

P = 21.4 kW

10.仕事とエネルギー

答え: x = 4.952 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(2.5 − 0.3·5) = 4.905 J

最大縮み

½kx² = 4.905 → x = √(2·4.905/4000) = 0.04952 m = 4.952 cm

答え

x = 4.952 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 5.333 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 0.5)/(4 + 0.5)·3 = 2.333 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 0.5)·3 = 5.333 m/s

答え

v′₂ = 5.333 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 820 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(11 + 30) = 20.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 20.5/0.025 = 820 N

答え

F_avg = 820 N

13.ばねと振り子

答え: L = 0.2485 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答え

L = 0.2485 m

14.ばねと振り子

答え: E = 2.952 J

角周波数

ω = √(410/1.5) = 16.53 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·410·0.12² = 2.952 J

答え

E = 2.952 J

15.波・音・光学

答え: h_i = 2.4 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/10

d_i = −6 cm

倍率と高さ

m = −(−6)/10 = 0.6

h_i = 0.6·4 = 2.4 cm

答え

h_i = 2.4 cm

16.波・音・光学

答え: d_i2 = −16.36 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/12 − 1/25 → d_i1 = 23.08 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 30 − 23.08 = 6.923 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/12 − 1/6.923 → d_i2 = −16.36 cm

答え

d_i2 = −16.36 cm

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