物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 15 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 15 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

35° の斜面上にある質量 3 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 6.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 6.5 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 24 m/s、水平から 50° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 12 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 50°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

長さ 1.2 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 30° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 1.2 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = s

8.円運動むずかしい

小さな台車を摩擦のない軌道上で静かに放し、半径 9.5 m の鉛直なループに進入させる。ループの最高点で軌道から離れないためには、ループの最下点から最低どれだけの高さ h_min から出発しなければならないか。

R = 9.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 90 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。停止距離 d を求めよ。

v = 90 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 15 m/s で壁に当たり、7 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 15 m/sv_out = 7 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.6 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 430 N/m のばねにつけた質量 2.5 kg の物体を、つり合いの位置から 3 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 2.5 kgk = 430 N/mA = 3 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、38° を超えるすべての入射角で、グリセリン（n = 1.47）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 38°n₂ = 1.47

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 30 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 20 cm、レンズ 2 は f₂ = 10 cm です。物体はレンズ 1 の 12 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 20 cmf₂ = 10 cms = 30 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: t = 5.455 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·15/5.5 = 5.455 s

答え

t = 5.455 s

その瞬間、パトカーは 2v = 30 m/s で走っています。

2.運動学

答え: h_max = 44.13 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

地面からの高さ

h_max = 40 + 4.128 = 44.13 m

答え

h_max = 44.13 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.896 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答え

a = 5.896 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.681 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 16.88 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.411 N

系の加速度

a = (63.77 − 16.88 − 2.411)/9.5 = 4.681 m/s²

答え

a = 4.681 m/s²

5.放物運動

答え: H = 4.406 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 25° = 9.298 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.298²/(2·9.81) = 4.406 m

答え

H = 4.406 m

6.放物運動

答え: x = 44.84 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 15.43 m/s, v_y = 18.39 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

12 = 18.39·t − 4.905·t²

t = (18.39 + √(18.39² − 2·9.81·12))/9.81 = 2.907 s

水平距離

x = v_x·t = 15.43·2.907 = 44.84 m

答え

x = 44.84 m

7.円運動

答え: T = 2.045 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.2·sin 30° = 0.6 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6·9.81·tan 30°) = 1.843 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.6/1.843 = 2.045 s

答え

T = 2.045 s

8.円運動

答え: h_min = 23.75 m

最高点での条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

エネルギー保存

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·9.5 = 23.75 m

答え

h_min = 23.75 m

9.仕事とエネルギー

答え: d = 63.71 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 90/3.6 = 25 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.5·9.81) = 63.71 m

答え

d = 63.71 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 6.644 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.1·2.5) = 110.4 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.25) = 6.644 m/s

答え

v = 6.644 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 6 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 1)/(1.5 + 1)·5 = 1 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 1)·5 = 6 m/s

答え

v′₂ = 6 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 154 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(7 + 15) = 7.7 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 7.7/0.05 = 154 N

答え

F_avg = 154 N

13.ばねと振り子

答え: T = 2.537 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.6/9.81) = 2.537 s

答え

T = 2.537 s

14.ばねと振り子

答え: E = 0.1935 J

角周波数

ω = √(430/2.5) = 13.11 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·430·0.03² = 0.1935 J

答え

E = 0.1935 J

15.波・音・光学

答え: n₁ = 2.388

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.47/0.6157 = 2.388

答え

n₁ = 2.388

16.波・音・光学

答え: d_i2 = 12 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/20 − 1/12 → d_i1 = −30 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 30 − (−30) = 60 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/10 − 1/60 → d_i2 = 12 cm

答え

d_i2 = 12 cm

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