物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.4 s で、その後、自動車は一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 120 km/ht_r = 1.4 sa = −4 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1.5 s の間、一定の上向きの加速度 28 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 28 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 16 kg のブロックが、水平と 25° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 16 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 7.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 36 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 3.1 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の回転数 n を毎分回転数で求めよ。

r = 3.1 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.円運動むずかしい

長さ 1.5 m の軽い糸につけた質量 0.4 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 10 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 0.4 kgr = 1.5 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 13 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.4 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 45°μ = 0.4d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 2 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 26 m/s で壁に当たり、7 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 26 m/sv_out = 7 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.9 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 1.5 s、振幅 6 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 1.5 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 1.5 sA = 6 cmx = 1.5 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

光がグリセリン（n = 1.47）の中を、水（n = 1.33）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.47n₂ = 1.33

θ_c = °

16.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、1 ミリメートルあたり 100 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 100 mm⁻¹λ = 600 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 185.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1.4 = 46.67 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·4) = 138.9 m

合計

d = 46.67 + 138.9 = 185.6 m

答え

d = 185.6 m

2.運動学

答え: h_max = 121.4 m

動力飛行段階

v₁ = 28·1.5 = 42 m/s

h₁ = ½·28·1.5² = 31.5 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 42²/(2·9.81) = 89.91 m

h_max = 31.5 + 89.91 = 121.4 m

答え

h_max = 121.4 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.146 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答え

a = 4.146 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.335 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 7.357)/12.5 = 3.335 m/s²

答え

a = 3.335 m/s²

5.放物運動

答え: x = 101.2 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 65° = 15.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 65° = 32.63 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·32.63/9.81 = 6.652 s

水平距離

x = v_x·t = 15.21·6.652 = 101.2 m

答え

x = 101.2 m

6.放物運動

答え: t = 4.152 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12.69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5.917 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 5.917·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.917 + √(35.01 + 1177))/9.81 = 4.152 s

答え

t = 4.152 s

7.円運動

答え: n = 31.01 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·3.1)) = 3.248 rad/s

回転数

n = ω·60/(2π) = 31.01 rpm

答え

n = 31.01 rpm

8.円運動

答え: T_top = 7.047 N

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 10² − 4·9.81·1.5 = 41.14 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.4·41.14/1.5 − 0.4·9.81 = 7.047 N

答え

T_top = 7.047 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 36.07 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.7071 = 6.937 N

F = μN = 0.4·6.937 = 2.775 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 2.775·13 = 36.07 J

答え

W_f = 36.07 J

10.仕事とエネルギー

答え: x = 18.26 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(3 − 0.25·3.5) = 41.69 J

最大縮み

½kx² = 41.69 → x = √(2·41.69/2500) = 0.1826 m = 18.26 cm

答え

x = 18.26 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 14 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 2)/(3.5 + 2)·11 = 3 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2)·11 = 14 m/s

答え

v′₂ = 14 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 18.15 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(7 + 26) = 18.15 N·s

答え

J = 18.15 N·s

13.ばねと振り子

答え: T = 2.765 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

答え

T = 2.765 s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.06032 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/1.5 = 4.189 rad/s

時間について解く

0.25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.25) = 0.2527 rad

t = 0.2527/4.189 = 0.06032 s

答え

t = 0.06032 s

15.波・音・光学

答え: θ_c = 64.79 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.47 = 0.9048

臨界角

θc = arcsin(0.9048) = 64.79°

答え

θ_c = 64.79°

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 3.44 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·600 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.06

θ = 3.44°

答え

θ₁ = 3.44°

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