物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 21 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5.5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 21 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 7.5 m/s ですべり、19 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 7.5 m/sd = 19 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 20° 上向きに打ち出すと、145 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 20°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 35 m のがけの上から、ボールを 16 m/s、水平から 15° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 16 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

自動車が、半径 110 m の円弧になっている道路の盛り上がりの頂上を通過する。g = 9.81 m/s² とする。どの速さ v_max を超えると、頂上で車輪が路面から離れるか。

r = 110 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.5 kg のボールを長さ 1.1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 5.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgr = 1.1 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 70 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.8 である。停止距離 d を求めよ。

v = 70 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 2 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 4 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 4.5 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 8 g の弾丸を、長さ 1.1 m の軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 35° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 5 kgL = 1.1 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 2.4 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 2.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 500 N/m のばねにつけた質量 0.4 kg の物体を、つり合いの位置から 6 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 0.4 kgk = 500 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、42° を超えるすべての入射角で、空気（n = 1.00）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 42°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、25 m/s で遠ざかる車に向けて 35 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 160.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/5.5 = 7.636 s

距離

d = v·t = 21·7.636 = 160.4 m

答え

d = 160.4 m

その瞬間、パトカーは 2v = 42 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 2.892 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.892 s

答え

t = 2.892 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.1509

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 7.5²/(2·19) = 1.48 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.48/9.81 = 0.1509

答え

μ = 0.1509

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.367 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 3.434)/8.5 = 5.367 m/s²

答え

a = 5.367 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 47.04 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 40°) = 47.04 m/s

答え

v₀ = 47.04 m/s

6.放物運動

答え: α = 59.78 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 16·cos 15° = 15.45 m/s

v_y0 = 16·sin 15° = 4.141 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(4.141² + 2·9.81·35) = 26.53 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 26.53/15.45 → α = 59.78°

答え

α = 59.78°

7.円運動

答え: v_max = 32.85 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

垂直抗力 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·110) = 32.85 m/s

答え

v_max = 32.85 m/s

(118.3 km/h)

8.円運動

答え: T = 18.65 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·5.5²/1.1 = 4.905 + 13.75 = 18.65 N

答え

T = 18.65 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 24.09 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.8·9.81) = 24.09 m

答え

d = 24.09 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 8.287 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.25·4.5) = 8.584 J

最大縮み

½kx² = 8.584 → x = √(2·8.584/2500) = 0.08287 m = 8.287 cm

答え

x = 8.287 cm

11.運動量と衝突

答え: v = 399.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·0.8859/0.01 = 399.5 m/s

答え

v = 399.5 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 1237 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.1·(1 − cos 35°) = 0.1989 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1989) = 1.976 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 5.008·1.976/0.008 = 1237 m/s

答え

v = 1237 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.108 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(2.4/9.81) = 3.108 s

答え

T = 3.108 s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 2.121 m/s

角周波数

ω = √(500/0.4) = 35.36 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.06·35.36 = 2.121 m/s

答え

v_max = 2.121 m/s

15.波・音・光学

答え: n₁ = 1.494

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.6691 = 1.494

答え

n₁ = 1.494

16.波・音・光学

答え: f_b = 4755 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 35000·(343 − 25)/343 = 32449 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 25) = 30245 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 4755 Hz

答え

f_b = 4755 Hz

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