物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.6 s で、その後、自動車は一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 90 km/ht_r = 0.6 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2 s の間、一定の上向きの加速度 22 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 22 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、15° の斜面を速さ 12 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 12 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 45° 上向きに打ち出すと、30 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 45°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 50 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 110 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 110 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.6 kg のボールを長さ 0.8 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.6 kgr = 0.8 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg のブロックが水平と 15° をなす斜面を 18 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2 kgθ = 15°μ = 0.15d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

30° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 20 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 18 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 2 kgh = 18 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 12 m/s で走る質量 1300 kg の自動車が、北向きに 22 m/s で走る質量 1000 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1300 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 22 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 2.4 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 2.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 230 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 1.3 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 1.3 kgk = 230 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、24.4° を超えるすべての入射角で、水（n = 1.33）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 24.4°n₂ = 1.33

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 10 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 5 cm、レンズ 2 は f₂ = −10 cm です。物体はレンズ 1 の 30 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 5 cmf₂ = −10 cms = 10 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 84.44 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 25·0.6 = 15 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4.5) = 69.44 m

合計

d = 15 + 69.44 = 84.44 m

答え

d = 84.44 m

2.運動学

答え: h_max = 142.7 m

動力飛行段階

v₁ = 22·2 = 44 m/s

h₁ = ½·22·2² = 44 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 44²/(2·9.81) = 98.67 m

h_max = 44 + 98.67 = 142.7 m

答え

h_max = 142.7 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.433 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答え

a = 2.433 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 14.67 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·4.908) = 14.67 m

答え

d = 14.67 m

5.放物運動

答え: v₀ = 17.16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 90°) = 17.16 m/s

答え

v₀ = 17.16 m/s

6.放物運動

答え: x = 96.15 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 35° = 19.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 35° = 13.77 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 50 + 13.77·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.77 + √(189.5 + 981))/9.81 = 4.891 s

水平距離

x = v_x·t = 19.66·4.891 = 96.15 m

答え

x = 96.15 m

7.円運動

答え: v_max = 20.78 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·110) = 20.78 m/s

答え

v_max = 20.78 m/s (74.79 km/h)

8.円運動

答え: T = 53.89 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·8²/0.8 = 5.886 + 48 = 53.89 N

答え

T = 53.89 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 51.17 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9659 = 18.95 N

F = μN = 0.15·18.95 = 2.843 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 2.843·18 = 51.17 J

答え

W_f = 51.17 J

10.仕事とエネルギー

答え: d = 8.536 m

ばねのエネルギー

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·3000·0.2² = 60 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(9.81·(0.5 + 0.25·0.866)) = 8.536 m

答え

d = 8.536 m

11.運動量と衝突

答え: v = 315.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.18) = 1.879 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2)·1.879/0.012 = 315.1 m/s

答え

v = 315.1 m/s

12.運動量と衝突

答え: v′ = 11.73 m/s

運動量の成分

p_x = 1300·12 = 15600 kg·m/s

p_y = 1000·22 = 22000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26970/2300 = 11.73 m/s

答え

v′ = 11.73 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.108 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(2.4/9.81) = 3.108 s

答え

T = 3.108 s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.7375 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 1.3·9.81/230 = 0.05545 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(230/1.3) = 13.3 rad/s

v_max = A·ω = 0.05545·13.3 = 0.7375 m/s

答え

v_max = 0.7375 m/s

15.波・音・光学

答え: n₁ = 3.22

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.4131 = 3.22

答え

n₁ = 3.22

16.波・音・光学

答え: d_i2 = −2.857 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/5 − 1/30 → d_i1 = 6 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 10 − 6 = 4 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/4 → d_i2 = −2.857 cm

答え

d_i2 = −2.857 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics