物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 23 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 23 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg の箱を、水平と 40° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 20 kgθ = 40°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 5.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 5.5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 36 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 45 m の崖の上から水平から 15° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 15°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

長さ 0.8 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 60° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 0.8 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = s

8.円運動むずかしい

半径 50 m のカーブに 25° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 50 mθ = 25°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1800 kg の自動車が 3° の坂を一定の 72 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 300 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1800 kgθ = 3°F_r = 300 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 1000 N/m のばねを、質量 3 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 3 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 13 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 2.5 kgh = 13 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 17 m/s で走る質量 1900 kg の自動車が、北向きに 24 m/s で走る質量 1100 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 1900 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 24 m/s (N)

θ = °

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.7 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 430 N/m のばねにつけた質量 2.9 kg の物体を、つり合いの位置から 14 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 2.9 kgk = 430 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦の長さは 0.6 m で、その上を波が 150 m/s で伝わります。その第 2 倍音の振動数 f₂ を求めてください。

v = 150 m/sn = 2L = 0.6 m

f₂ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、幅 0.05 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 1 番目の暗線の角度 θ₁ を求めてください。

λ = 600 nma = 0.05 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 23 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/2 = 23 s

答え

t = 23 s

その瞬間、パトカーは 2v = 46 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 2.951 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·25))/9.81 = 2.951 s

答え

t = 2.951 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 186.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 126.1 + 60.12 = 186.2 N

答え

F = 186.2 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.318 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 53.96 N

m₁·g·sin θ = 20.73 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.891 N

系の加速度

a = (53.96 − 20.73 − 8.891)/10.5 = 2.318 m/s²

答え

a = 2.318 m/s²

5.放物運動

答え: x = 124.1 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 55° = 20.65 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 55° = 29.49 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·29.49/9.81 = 6.012 s

水平距離

x = v_x·t = 20.65·6.012 = 124.1 m

答え

x = 124.1 m

6.放物運動

答え: x = 49.99 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 15° = 14.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 15° = 3.882 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 45 + 3.882·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.882 + √(15.07 + 882.9))/9.81 = 3.45 s

水平距離

x = v_x·t = 14.49·3.45 = 49.99 m

答え

x = 49.99 m

7.円運動

答え: T = 1.269 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 0.8·sin 60° = 0.6928 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6928·9.81·tan 60°) = 3.431 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.6928/3.431 = 1.269 s

答え

T = 1.269 s

8.円運動

答え: v_max = 19.94 m/s

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(50·9.81·0.6492/0.8007) = 19.94 m/s

答え

v_max = 19.94 m/s

(71.79 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: P = 24.48 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 3° = 924.1 N

F = 924.1 + 300 = 1224 N

電力

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1224·20 = 24483 W = 24.48 kW

答え

P = 24.48 kW

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.8457 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·1000·0.15² = 11.25 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11.25/(29.43·(0.2588 + 0.2·0.9659)) = 0.8457 m

答え

d = 0.8457 m

11.運動量と衝突

答え: v = 800.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.13) = 1.597 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 2.5)·1.597/0.005 = 800.1 m/s

答え

v = 800.1 m/s

12.運動量と衝突

答え: θ = 39.26 °

運動量の成分

p_x = 1900·17 = 32300 kg·m/s

p_y = 1100·24 = 26400 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 0.8173 → θ = 39.26°

答え

θ = 39.26°

13.ばねと振り子

答え: T = 2.616 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.7/9.81) = 2.616 s

答え

T = 2.616 s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 1.705 m/s

角周波数

ω = √(430/2.9) = 12.18 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.14·12.18 = 1.705 m/s

答え

v_max = 1.705 m/s

15.波・音・光学

答え: f₂ = 250 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.6/2 = 0.6 m

振動数

f = v/λ = 150/0.6 = 250 Hz

答え

f₂ = 250 Hz

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 0.6876 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.012

θ = 0.6876°

答え

θ₁ = 0.6876°

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