物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

36 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 36 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 10 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 10 mv_0B = 12 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 30 m/s で打ち出し、65 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 30 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 34 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 115 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 115 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.5 kg のボールを長さ 1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgr = 1 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 400 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.15 kg のボールをその上に置き、ばねを 5 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.15 kgk = 400 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 2.5 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 29 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.8 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 410 N/m のばねにつけた質量 0.5 kg の物体を、つり合いの位置から 12 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 0.5 kgk = 410 N/mA = 12 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

高さ 1 cm の物体が、焦点距離 8 cm の薄い発散レンズの 6 cm 前にあります。像の高さ h_i を求めてください（倒立像では負）。

h_o = 1 cmd_o = 6 cmf = −8 cm

h_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 800 本の線があります。波長 550 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 800 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: s = 11.11 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·4.5) = 11.11 m

答え

s = 11.11 m

2.運動学

答え: t = 0.8333 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

10 − ½g·t² = 12·t − ½g·t² → t = 10/12 = 0.8333 s

答え

t = 0.8333 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.631 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答え

a = 3.631 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.962 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 0)/5 = 1.962 m/s²

答え

a = 1.962 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 22.56 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/30² = 0.7085

位相角

2θ = 45.11° → θ = 22.56°

答え

θ = 22.56°

もう 1 つの解は 90° − θ = 67.44° です。

6.放物運動

答え: H = 30.52 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 34·sin 25° = 14.37 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 14.37²/(2·9.81) = 10.52 m

地面からの高さ

H = 20 + 10.52 = 30.52 m

答え

H = 30.52 m

7.円運動

答え: v_max = 23.75 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·115) = 23.75 m/s

答え

v_max = 23.75 m/s (85.5 km/h)

8.円運動

答え: T = 22.91 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·6²/1 = 4.905 + 18 = 22.91 N

答え

T = 22.91 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 0.3398 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·400·0.05² = 0.5 J

高さ

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.5/1.472 = 0.3398 m

答え

h = 0.3398 m

10.仕事とエネルギー

答え: v = 4.429 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(1.5 − 0.2·2.5) = 24.53 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

答え

v = 4.429 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 4 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 0.5)/(1.5 + 0.5)·8 = 4 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 0.5)·8 = 12 m/s

答え

v′₁ = 4 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 20 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(11 + 29) = 20 N·s

答え

J = 20 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.8051 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.8/2π)² = 0.8051 m

答え

L = 0.8051 m

14.ばねと振り子

答え: E = 2.952 J

角周波数

ω = √(410/0.5) = 28.64 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·410·0.12² = 2.952 J

答え

E = 2.952 J

15.波・音・光学

答え: h_i = 0.5714 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/6

d_i = −3.429 cm

倍率と高さ

m = −(−3.429)/6 = 0.5714

h_i = 0.5714·1 = 0.5714 cm

答え

h_i = 0.5714 cm

16.波・音・光学

答え: m_max = 2

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/800 mm = 1.25 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 1.25 µm/0.55 µm = 2.273 → m_max = 2

答え

m_max = 2

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