物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 34 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 34 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 3 m/s² で 12 s 加速し、次に 6 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 12 st₂ = 6 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 105 N が前の 8 kg のブロックを引き、6 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 8 kgF = 105 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 38 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 25 m のがけの上から、ボールを 19 m/s、水平から 45° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 3.3 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.7 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の回転数 n を毎分回転数で求めよ。

r = 3.3 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.円運動むずかしい

質量 0.6 kg のボールを長さ 1.2 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 4 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.6 kgr = 1.2 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 400 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 400 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 8 m/s で壁に当たり、17 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 8 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.7 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

100 m/s で動く質量 15 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 2 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 100 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 15 gv = 100 m/sM = 2 kgk = 100 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 85 dB になります。同一の機械 8 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 85 dBn = 8

β = dB

16.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、幅 0.05 mm の単スリットを通ります。1.5 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 550 nma = 0.05 mmL = 1.5 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 17 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/4 = 17 s

答え

t = 17 s

その瞬間、パトカーは 2v = 68 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 36 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·12 = 36 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 36/2 = 18 s

合計時間

t = 12 + 6 + 18 = 36 s

答え

t = 36 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.823 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答え

a = 4.823 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 45 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 34.34)/14 = 5.047 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(5.047 + 2.453) = 45 N

答え

T = 45 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: H = 55.2 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 60° = 19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 60° = 32.91 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 32.91²/(2·9.81) = 55.2 m

答え

H = 55.2 m

6.放物運動

答え: α = 62.59 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 19·cos 45° = 13.44 m/s

v_y0 = 19·sin 45° = 13.44 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(13.44² + 2·9.81·25) = 25.9 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 25.9/13.44 → α = 62.59°

答え

α = 62.59°

7.円運動

答え: n = 19.68 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·3.3)) = 2.061 rad/s

回転数

n = ω·60/(2π) = 19.68 rpm

答え

n = 19.68 rpm

8.円運動

答え: T = 13.89 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·4²/1.2 = 5.886 + 8 = 13.89 N

答え

T = 13.89 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 2.61 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·400·0.08² = 1.28 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.28/0.4905 = 2.61 m

答え

h = 2.61 m

10.仕事とエネルギー

答え: x = 12.05 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(4 − 0.15·2) = 36.3 J

最大縮み

½kx² = 36.3 → x = √(2·36.3/5000) = 0.1205 m = 12.05 cm

答え

x = 12.05 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 2.333 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 1.5)/(3 + 1.5)·7 = 2.333 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1.5)·7 = 9.333 m/s

答え

v′₁ = 2.333 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 687.5 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(17 + 8) = 13.75 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 13.75/0.02 = 687.5 N

答え

F_avg = 687.5 N

13.ばねと振り子

答え: T = 2.616 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.7/9.81) = 2.616 s

答え

T = 2.616 s

14.ばねと振り子

答え: A = 10.57 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.015·100/2.015 = 0.7444 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(100/2.015) = 7.045 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7444/7.045 = 0.1057 m = 10.57 cm

答え

A = 10.57 cm

15.波・音・光学

答え: β = 94.03 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 8·I₁

レベル

β = 85 + 10·log₁₀(8) = 94.03 dB

答え

β = 94.03 dB

16.波・音・光学

答え: w = 33 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·1.5/(0.05 × 10⁻³) = 16.5 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 33 mm

答え

w = 33 mm

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