物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が +1 µC と +5 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 5 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +5 µCr = 5 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

電子が 2 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 5 cm、極板間の電場は 2100 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 2100 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 12 VR = 68 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 1000 ms で R₂ を流れる電流 i₂ を求めよ。

V_s = 15 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µFt = 1000 ms

i₂ = mA

7.磁場と電磁誘導ふつう

10 巻きのコイルの面積は 150 cm² です。コイルに垂直な一様な磁場が、250 ms で 0.05 T から 0.55 T まで一定の割合で増加します。平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 10A = 150 cm²B: 0.05 T → 0.55 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.磁場と電磁誘導むずかしい

100 巻き、8 cm × 25 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.4 T の一様な磁場の中で 3000 rpm で回転します。起電力の実効値 E_rms を求めてください。

N = 100A = 8 cm × 25 cmB = 0.4 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコンデンサが並列に、120 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩC = 100 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 32.36 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (1 + 5)/2 = 3 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0.05² = 32.36 N

答え

F = 32.36 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: y = 1.154 mm

極板間にいる時間

t = L/v₀ = 0.05/2 × 10⁷ = 2.5 × 10⁻⁹ s

横方向の加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2100/9.109 × 10⁻³¹ = 3.693 × 10¹⁴ m/s²

たわみ

y = ½·a·t² = ½·3.693 × 10¹⁴·(2.5 × 10⁻⁹)² = 0.001154 m = 1.154 mm

答え

y = 1.154 mm

電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。

3.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 18 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 10 + 20 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_eq = R₁ + 12 = 6 + 12 = 18 Ω

答え

R_eq = 18 Ω

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.2992 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 4 + 4 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 6.061 Ω

R₃ + 6.061 = 36.06 Ω

R₂ ∥ 36.06 = 2.77 Ω

R_eq = R₁ + 2.77 = 25 + 2.77 = 27.77 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/27.77 = 0.3241 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.3241·25 = 0.8976 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0.8976/3 = 0.2992 A

答え

I_R2 = 0.2992 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.154 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0.4853 ms

i(∞) = V_s/R = 12/68 = 0.1765 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.1765·(1 − e^−1/0.4853) = 0.154 A

答え

i = 0.154 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: i₂ = 0.8655 mA

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 15·10/(1 + 10) = 13.64 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 10·220 = 2200 ms

放電

v_C(t) = 13.64·e^−1000/2200 = 8.655 V

i₂ = v_C/R₂ = 8.655/10 = 0.8655 mA

答え

i₂ = 0.8655 mA

7.磁場と電磁誘導

答え: ε = 300 mV

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = (0.55 − 0.05)·0.015 = 0.0075 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 10·0.0075/0.25 = 0.3 V

答え

ε = 300 mV

8.磁場と電磁誘導

答え: E_rms = 177.7 V

角速度と面積

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

A = 0.02 m²

ピーク起電力

E₀ = NBAω = 100·0.4·0.02·314.2 = 251.3 V

実効値

E_rms = 251.3/√2 = 177.7 V

答え

E_rms = 177.7 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 4.057 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 120/80 = 1.5 A

I_X = V/X_C = 120/31.83 = 3.77 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.5² + 3.77²) = 4.057 A

答え

I = 4.057 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 2.753 A

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−40.93)²) = 43.59 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/43.59 = 2.753 A

答え

I = 2.753 A

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