クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
2 つの同じ小さな金属球が −1 µC と −2 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 50 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −1 µCq2 = −2 µCr = 50 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+10 µC と −10 µC の電荷が 12 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 12 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 12 cmh = 12 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 ΩR5 = 8 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。
Vs = 9 VR = 5 ΩL = 22 mHt = 5 ms
W = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 6 V に充電されている。 vC が 8.4 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 10 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
長さ 30 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.25 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 1 m/s で滑ります。レールは 1 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。抵抗で消費される電力 P を求めてください。
B = 0.25 TL = 30 cmv = 1 m/sR = 1 Ω
P = mW
8.磁場と電磁誘導むずかしい
陽子 が静止状態から 5000 V の電位差で加速され、そのあと 0.3 T の一様な磁場に直角に入ります。磁場中での軌道の半径 r を求めてください。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.3 T
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 1 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 50 Ω、L = 50 mH、C = 0.1 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。
R = 50 ΩL = 50 mHC = 0.1 µF
Q =
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 0.08091 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触後の電荷
q′ = (−1 + −2)/2 = −1.5 µC
新しい力
F = 8.99 × 10⁹·(1.5 × 10⁻⁶)²/0.5² = 0.08091 N
答え
F = 0.08091 N
両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 4.467 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(6² + 12²) = 13.42 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.1342² = 4.994 × 10⁶ N/C
成分
二等分線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(a/r) = 2·4.994 × 10⁶·0.4472 = 4.467 × 10⁶ N/C
答え
E = 4.467 × 10⁶ N/C
電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.9689 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 10·27/(10+27) = 7.297 Ω
Req = R1 + 7.297 = 4 + 7.297 = 11.3 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 15/11.3 = 1.328 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1.328·4 = 9.689 V
IR2 = VA/R2 = 9.689/10 = 0.9689 A
答え
IR2 = 0.9689 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.9988 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 8 + 10 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 8.182 Ω
R3 + 8.182 = 12.18 Ω
R2 ∥ 12.18 = 3.011 Ω
Req = R1 + 3.011 = 6 + 3.011 = 9.011 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/9.011 = 0.9988 A
答え
IR1 = 0.9988 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: W = 16.43 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 22 mH / 5 Ω = 4.4 ms
i(∞) = Vs/R = 9/5 = 1.8 A
指定時刻の電流
i(t) = 1.8·(1 − e−5/4.4) = 1.222 A
蓄積エネルギー
W = ½·L·i² = ½·22·1.222² = 16.43 mJ
答え
W = 16.43 mJ
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 20.16 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 10 + (6 − 10)·e−t/τ
時間について解く
8.4 = 10 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (8.4 − 10)/(6 − 10) = 0.4
t = τ·ln((6 − 10)/(8.4 − 10)) = 22·ln(2.5) = 20.16 ms
答え
t = 20.16 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: P = 5.625 mW
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
運動起電力
ε = BLv = 0.25·0.3·1 = 0.075 V
電流
I = ε/R = 0.075/1 = 0.075 A
電力
P = εI = 0.075·0.075 = 0.005625 W
答え
P = 5.625 mW
8.磁場と電磁誘導
答え: r = 3.406 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速後の速さ
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·5000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s
磁場中での半径
r = mv/(|q|B) = 0.03406 m = 3.406 cm
答え
r = 3.406 cm
まとめると r = √(2mV/|q|)/B となり、電荷が同じなら重いイオンほど大きな円を描きます。これで同位体を分離します。
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 86.35 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.15 = 942.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (783.3)²) = 784.9 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(783.3/50) = 86.35°
答え
φ = 86.35°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: Q = 14.14
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.05·0.1·10⁻⁶)) = 2251 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.05/(0.1·10⁻⁶)) = 14.14
答え
Q = 14.14
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