物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++5 µC++8 µC++6 µC7.5 cm + 22.5 cm

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +5 µC、そこから 30 cm 右に +6 µC、その間で左の電荷から 7.5 cm の位置に +8 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +5 µCqR = +6 µCqM = +8 µCrL = 7.5 cmrR = 22.5 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
6 cm10 cm+q1​ = +3 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +8 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 1 µC は直角の頂点に、q₁ = 3 µC はそこから一方の辺に沿って 6 cm の位置に、q₂ = 8 µC はもう一方の辺に沿って 10 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 3 µCq2 = 8 µCq3 = 1 µCr13 = 6 cmr23 = 10 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​10 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​25 ΩBR6​3 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 25 ΩR5 = 8 ΩR6 = 3 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​12 Vt = 0R = 100 ΩL10 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 90% に達するか。t を求めよ。

Vs = 12 VR = 100 ΩL = 10 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​6 Vt = 0R = 2.2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 15 V に充電されている。 t = 60 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 6 VR = 2.2 kΩC = 68 µFvC(0) = 15 Vt = 60 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
25 A15 Ad = 12 cm

12 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、逆向きに 25 A と 15 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。

I1 = 25 AI2 = 15 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
L = 25 mH2.5 → 0.5 A

25 mH のインダクタの電流が、5 ms で 2.5 A から 0.5 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。

L = 25 mH2.5 A → 0.5 AΔt = 5 ms
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
10 V200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 10 µFI

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
120 V50 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF+−VC​

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF
VC = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 55.41 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

FL = +k·5·8 × 10⁻¹²/0.075² = 63.93 N
FR = −k·6·8 × 10⁻¹²/0.225² = −8.524 N

合力

F = 63.93 + (−8.524) = 55.41 N → |F| = 55.41 N

答え

F = 55.41 N

合力は右向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 10.39 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·3·1 × 10⁻¹²/0.06² = 7.492 N
F2 = k·8·1 × 10⁻¹²/0.1² = 7.192 N

ベクトル和

F = √(7.492² + 7.192²) = 10.39 N

答え

F = 10.39 N
3.抵抗の直列・並列

答え: Req = 25.48 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​10 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 12 + 10 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10.48 Ω
Req = R1 + 10.48 = 15 + 10.48 = 25.48 Ω

答え

Req = 25.48 Ω
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 19.74 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​25 ΩBR6​3 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 8 + 3 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 7.639 Ω
R3 + 7.639 = 11.64 Ω
R2 ∥ 11.64 = 4.741 Ω
Req = R1 + 4.741 = 15 + 4.741 = 19.74 Ω

答え

Req = 19.74 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 0.2303 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0.1 ms
i(∞) = Vs/R = 12/100 = 0.12 A

時間について解く

0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −0.1·ln(0.1) = 0.2303 ms

答え

t = 0.2303 ms
6.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 12.03 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms
vC(t) = 6 + (15 − 6)·e−t/τ

指定時刻の電圧

vC(60) = 6 + (9)·e−60/149.6 = 12.03 V

答え

vC = 12.03 V
7.磁場と電磁誘導

答え: F/L = 625 µN/m

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

1 メートルあたりの力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·25·15/0.12 = 625 µN/m

答え

F/L = 625 µN/m

逆向きの電流は反発し合います。

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 10 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

自己誘導起電力

起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。

ε = L·ΔI/Δt = 0.025·2/0.005 = 10 V

答え

ε = 10 V
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.1033 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−54.44)²) = 96.77 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/96.77 = 0.1033 A

答え

I = 0.1033 A
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VC = 96.94 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−25.55)²) = 39.4 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/39.4 = 3.045 A

コンデンサの電圧

VC = I·XC = 3.045·31.83 = 96.94 V

答え

VC = 96.94 V

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