クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
3 つの点電荷が一直線上にある：左に −2 µC、そこから 30 cm 右に +1 µC、その間で左の電荷から 18 cm の位置に −10 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −2 µCqR = +1 µCqM = −10 µCrL = 18 cmrR = 12 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+1 µC と +1 µC の電荷が 6 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 5 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +1 µCq2 = +1 µCd = 6 cmh = 5 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。
Vs = 20 VR1 = 6.8 kΩR2 = 1 kΩC = 10 µF
τ = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
R2 の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R2 を短絡する。 t = 0 からどれだけ後に、コイルの電流は 0.364 A に達するか。t を求めよ。
Vs = 9 VR1 = 22 ΩR2 = 5 ΩL = 22 mH
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
円形のループが、紙面の奥向き の一様な磁場の中にあります。磁場は弱くなっています。図で見たループの誘導電流の向きをクリックしてください。
B: 紙面の奥向きdB/dt < 0
- 1時計回り
- 2反時計回り
8.磁場と電磁誘導むずかしい
自己インダクタンスが 200 mH と 200 mH の 2 つのコイルの結合係数は 0.5 です。1 つ目のコイルの電流は 50 A/s の割合で変化します。2 つ目のコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。
L1 = 200 mHL2 = 200 mHk = 0.5di/dt = 50 A/s
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 100 µF
cos φ =
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 5 Ω、L = 1 mH、C = 1 µF である。 帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。
R = 5 ΩL = 1 mHC = 1 µF
B = Hz
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 11.79 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
各電荷からの力
右向きを正とします。
FL = +k·2·10 × 10⁻¹²/0.18² = 5.549 N
FR = +k·1·10 × 10⁻¹²/0.12² = 6.243 N
合力
F = 5.549 + (6.243) = 11.79 N → |F| = 11.79 N
答え
F = 11.79 N
合力は右向きです。
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 4.535 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(3² + 5²) = 5.831 cm
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0.05831² = 2.644 × 10⁶ N/C
成分
電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(h/r) = 2·2.644 × 10⁶·0.8575 = 4.535 × 10⁶ N/C
答え
E = 4.535 × 10⁶ N/C
電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.6632 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 5 + 10 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω
Req = R1 + 8.571 = 5 + 8.571 = 13.57 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/13.57 = 0.6632 A
答え
IR1 = 0.6632 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.718 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 30 + 20 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 14.29 Ω
R3 + 14.29 = 24.29 Ω
R2 ∥ 24.29 = 10.97 Ω
Req = R1 + 10.97 = 3 + 10.97 = 13.97 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 24/13.97 = 1.718 A
答え
IR1 = 1.718 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: τ = 8.718 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·1/(6.8 + 1) = 0.8718 kΩ
vC(∞) = 20·1/(6.8 + 1) = 2.564 V
時定数
τ = Rth·C = 0.8718·10 = 8.718 ms
答え
τ = 8.718 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 0.5189 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。
i(0) = 9/(22 + 5) = 0.3333 A
i(∞) = 9/22 = 0.4091 A
τ = L/R = 22/22 = 1 ms
i(t) = 0.4091 + (0.3333 − 0.4091)·e−t/τ
時間について解く
e−t/τ = (0.364 − 0.4091)/(0.3333 − 0.4091) = 0.5952
t = 1·ln(1.68) = 0.5189 ms
答え
t = 0.5189 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: 時計回り
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
磁束の変化
紙面の手前向きの磁束が増えるか、紙面の奥向きの磁束が減ります。
誘導電流がつくる磁場
誘導電流は変化を妨げます。
ループ内側の誘導磁場：紙面の奥向き。
電流の向き
右手の法則：反時計回りの電流は、ループの内側に紙面の手前向きの磁場をつくります。
時計回り
答え
時計回り
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 5 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
相互インダクタンス
M = 0.5·√(200·200) = 100 mH
誘導起電力
ε = M·di/dt = 0.1·50 = 5 V
答え
ε = 5 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: cos φ = 0.9688
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 18.85 Ω, XC = 26.53 Ω
インピーダンス
|Z| = √(30² + (−7.676)²) = 30.97 Ω
力率
cos φ = R/|Z| = 30/30.97 = 0.9688
回路は容量性なので、力率は進みです。
答え
cos φ = 0.9688
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: B = 795.8 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.001·1·10⁻⁶)) = 5033 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.001/(1·10⁻⁶)) = 6.325
帯域幅
B = f0/Q = 5033/6.325 = 795.8 Hz
答え
B = 795.8 Hz
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