クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
2 つの同じ小さな金属球が −4 µC と −2 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 25 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −4 µCq2 = −2 µCr = 25 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
それぞれ質量 5 g の 2 つの同じ小球が、長さ 80 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 15° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 5 gL = 80 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 ΩR5 = 2 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。
Vs = 9 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 20 V に充電されている。 vC が 16.7 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 9 VR = 1 kΩC = 33 µFvC(0) = 20 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
Α粒子 が、0.2 T の一様な磁場の中で円運動をしています。1 周にかかる時間 T を求めてください。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CB = 0.2 T
T = ns
8.磁場と電磁誘導むずかしい
150 巻き、20 cm × 25 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.5 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 499.8 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？
N = 150A = 20 cm × 25 cmB = 0.5 TErms = 499.8 V
n = rpm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
L = 50 mH の直列 RLC 回路を 500 Hz で共振させなければならない。必要な静電容量 C を求めよ。
f0 = 500 HzL = 50 mH
C = µF
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 回路の共振周波数 f0 を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
f0 = Hz
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 1.295 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触後の電荷
q′ = (−4 + −2)/2 = −3 µC
新しい力
F = 8.99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0.25² = 1.295 N
答え
F = 1.295 N
両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。
2.クーロンの法則と電場
答え: q = 500.7 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
つり合いからの電気力
張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。
F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 15° = 0.01314 N
間隔
r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 15° = 0.4141 m
電荷
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.4141·√(0.01314/8.99 × 10⁹) = 5.007 × 10⁻⁷ C = 500.7 nC
答え
q = 500.7 nC
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.105 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Req = R1 + 2.857 = 8 + 2.857 = 10.86 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 12/10.86 = 1.105 A
答え
IR1 = 1.105 A
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 20.59 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 6.667 Ω
R3 + 6.667 = 12.67 Ω
R2 ∥ 12.67 = 5.588 Ω
Req = R1 + 5.588 = 15 + 5.588 = 20.59 Ω
答え
Req = 20.59 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: W = 0.7356 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0.4091 A
指定時刻の電流
i(t) = 0.4091·(1 − e−1/1) = 0.2586 A
蓄積エネルギー
W = ½·L·i² = ½·22·0.2586² = 0.7356 mJ
答え
W = 0.7356 mJ
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 11.77 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms
vC(t) = 9 + (20 − 9)·e−t/τ
時間について解く
16.7 = 9 + (11)·e−t/τ → e−t/τ = (16.7 − 9)/(20 − 9) = 0.7
t = τ·ln((20 − 9)/(16.7 − 9)) = 33·ln(1.429) = 11.77 ms
答え
t = 11.77 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: T = 651.6 ns
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
円運動の周期
速い粒子はより大きな円を描くので、1 周にかかる時間は変わりません。
T = 2πm/(|q|B) = 2π·6.645 × 10⁻²⁷/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.2) = 651.6 ns
答え
T = 651.6 ns
速さは必要ありません：サイクロトロンが 1 つの固定された周波数を使えるのはこのためです。
8.磁場と電磁誘導
答え: n = 1800 rpm
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
ピーク起電力
E₀ = √2·Erms = 706.8 V
角速度
ω = E₀/(NBA) = 706.8/(150·0.5·0.05) = 188.5 rad/s
毎分回転数
n = 60·188.5/(2π) = 1800 rpm
答え
n = 1800 rpm
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: C = 2.026 µF
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.05) = 2.026 µF
答え
C = 2.026 µF
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: f0 = 758.7 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·2.2·10⁻⁶)) = 758.7 Hz
答え
f0 = 758.7 Hz
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