物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+3 µC の電荷と −6 µC の電荷が 20 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 12 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +3 µCq₂ = −6 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 3 µC は直角の頂点に、q₁ = 1 µC はそこから一方の辺に沿って 3 cm の位置に、q₂ = 1 µC はもう一方の辺に沿って 8 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 1 µCq₂ = 1 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 30 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 15 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 33 µFt = 30 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

正方形のループが右へ動き、紙面の奥向きの一様な磁場のある領域に入ります。ループが磁場に入っている間の、図で見たループの誘導電流の向きをクリックしてください。

B: 紙面の奥向き磁場に入っている途中

1時計回り
2反時計回り

8.磁場と電磁誘導むずかしい

200 巻きの短いコイルが、800 巻き、長さ 25 cm、直径 4 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。ソレノイドの電流は 20 A/s の割合で変化します。短いコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。

N₁ = 800N₂ = 200l = 25 cm⌀ = 4 cmdi/dt = 20 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF

cos φ =

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 100 µF

V_C = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 1.03 × 10⁷ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.12² = 1.873 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.08² = 8.428 × 10⁶ N/C

向きと合成

1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。

E = |1.873 × 10⁶ + 8.428 × 10⁶| = 1.03 × 10⁷ N/C

答え

E = 1.03 × 10⁷ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 30.26 N

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·1·3 × 10⁻¹²/0.03² = 29.97 N

F₂ = k·1·3 × 10⁻¹²/0.08² = 4.214 N

ベクトル和

F = √(29.97² + 4.214²) = 30.26 N

答え

F = 30.26 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.07059 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω

R_eq = R₁ + 4.286 = 20 + 4.286 = 24.29 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/24.29 = 0.2471 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.2471·20 = 1.059 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.059/15 = 0.07059 A

答え

I_R2 = 0.07059 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 1.651 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 2.727 Ω

R₃ + 2.727 = 14.73 Ω

R₂ ∥ 14.73 = 3.146 Ω

R_eq = R₁ + 3.146 = 4 + 3.146 = 7.146 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.146 = 2.099 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2.099·4 = 6.603 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.603/4 = 1.651 A

答え

I_R2 = 1.651 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.2054 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0.2273 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.2273·(1 − e^−5/2.136) = 0.2054 A

答え

i = 0.2054 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 6.833 V

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 15·3.3/(2.2 + 3.3) = 9 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 3.3·33 = 108.9 ms

放電

v_C(t) = 9·e^−30/108.9 = 6.833 V

答え

v_C = 6.833 V

7.磁場と電磁誘導

答え: 反時計回り

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

磁束の変化

紙面の奥向きの磁束が増えるか、紙面の手前向きの磁束が減ります。

誘導電流がつくる磁場

誘導電流は変化を妨げます。

ループ内側の誘導磁場：紙面の手前向き。

電流の向き

右手の法則：反時計回りの電流は、ループの内側に紙面の手前向きの磁場をつくります。

反時計回り

答え

反時計回り

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 20.21 mV

相互インダクタンス

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·200·0.001257/0.25 = 1.011 mH

誘導起電力

ε = M·di/dt = 0.001011·20 = 20.21 mV

答え

ε = 20.21 mV

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.3645

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 31.42 Ω, X_C = 159.2 Ω

インピーダンス

|Z| = √(50² + (−127.7)²) = 137.2 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 50/137.2 = 0.3645

回路は容量性なので、力率は進みです。

答え

cos φ = 0.3645

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 6.387 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (11.17)²) = 41.53 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/41.53 = 0.2408 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.2408·26.53 = 6.387 V

答え

V_C = 6.387 V

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