物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++5 µC++10 µCE = 080 cm

+5 µC と +10 µC の電荷が 80 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+5 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。

q1 = +5 µCq2 = +10 µCd = 80 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
++P2 × 4 cm12 cm+6 µC+6 µC

+6 µC と +6 µC の電荷が 8 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 12 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = +6 µCd = 8 cmh = 12 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​20 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 4 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​2 ΩBR6​3 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 ΩR5 = 6 ΩR6 = 3 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 90% に達するか。t を求めよ。

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​9 Vt = 0R = ?C22 µF+−vC​

タイマーが t = 0 に、9 V の電源から抵抗を通して充電されていないコンデンサの充電を始める。コンデンサの電圧が 7.2 V に達したとき、開始からちょうど 50 ms 後に作動しなければならない。 C = 22 µF のとき、必要な抵抗 R を求めよ。

Vs = 9 VVth = 7.2 VT = 50 msC = 22 µF
R = kΩ
7.磁場と電磁誘導ふつう
2 A10 Ad = 3 cm

3 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 2 A と 10 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。

I1 = 2 AI2 = 10 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
l = 25 cmN = 300, ⌀ 3 cm

空芯の長いソレノイドの巻き数は 300、長さは 25 cm、直径は 3 cm です。その自己インダクタンス L を求めてください。

N = 300l = 25 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
230 V50 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2.2 µFI

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
5 Vf0​R = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 5 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VL = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: x = 33.14 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

電場が等しい

5/x² = 10/(80 − x)²
(80 − x)/x = √(10/5) = 1.414

位置

x = 80/(1 + 1.414) = 33.14 cm

答え

x = 33.14 cm

電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。

2.クーロンの法則と電場

答え: E = 6.396 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

1 つの電荷までの距離とその電場

r = √(4² + 12²) = 12.65 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.1265² = 3.371 × 10⁶ N/C

成分

電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。

E = 2·E1·(h/r) = 2·3.371 × 10⁶·0.9487 = 6.396 × 10⁶ N/C

答え

E = 6.396 × 10⁶ N/C

電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。

3.抵抗の直列・並列

答え: Req = 16.7 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​20 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 20·23/(20+23) = 10.7 Ω
Req = R1 + 10.7 = 6 + 10.7 = 16.7 Ω

答え

Req = 16.7 Ω
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 7.835 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 4 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​2 ΩBR6​3 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 6 + 3 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 1.636 Ω
R3 + 1.636 = 5.636 Ω
R2 ∥ 5.636 = 3.835 Ω
Req = R1 + 3.835 = 4 + 3.835 = 7.835 Ω

答え

Req = 7.835 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 6.908 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0.12 A

時間について解く

0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −3·ln(0.1) = 6.908 ms

答え

t = 6.908 ms
6.RC・RL 過渡現象

答え: R = 1.412 kΩ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

必要な時定数

7.2 = 9·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(9/(9 − 7.2))
τ = 50/1.609 = 31.07 ms

抵抗

kΩ × µF でミリ秒になります。

R = τ/C = 31.07/22 = 1.412 kΩ

答え

R = 1.412 kΩ
7.磁場と電磁誘導

答え: F/L = 133.3 µN/m

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

1 メートルあたりの力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·10/0.03 = 133.3 µN/m

答え

F/L = 133.3 µN/m

同じ向きの電流は引き合います。

8.磁場と電磁誘導

答え: L = 319.8 µH

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

断面

A = π·(0.015)² = 0.0007069 m²

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0.0007069/0.25 = 0.0003198 H = 319.8 µH

答え

L = 319.8 µH
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.1659 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·2.2·10⁻⁶) = 1447 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−1384)²) = 1386 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 230/1386 = 0.1659 A

答え

I = 0.1659 A
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VL = 25 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s
I = V/R = 5/20 = 0.25 A

コイルの両端の電圧

XL = ω₀L = 1000·0.1 = 100 Ω
VL = I·XL = 0.25·100 = 25 V

答え

VL = 25 V

これは電源電圧の Q = 5 倍です。

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