物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +2 µC、そこから 10 cm 右に −4 µC、その間で左の電荷から 2.5 cm の位置に −1 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +2 µCq_R = −4 µCq_M = −1 µCr_L = 2.5 cmr_R = 7.5 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 1 µC は直角の頂点に、q₁ = 3 µC はそこから一方の辺に沿って 3 cm の位置に、q₂ = 2 µC はもう一方の辺に沿って 3 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 3 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 10 ms におけるコイルの電圧 v_L を求めよ。

V_s = 20 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 10 ms

v_L = V

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 24 V に充電されている。 v_C が 9.6 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

V_s = 6 VR = 4.7 kΩC = 100 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.磁場と電磁誘導ふつう

長さ 50 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.4 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 4 m/s で滑ります。レールは 1 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。電流 I を求めてください。

B = 0.4 TL = 50 cmv = 4 m/sR = 1 Ω

I = mA

8.磁場と電磁誘導むずかしい

50 巻き、5 cm × 15 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.5 T の一様な磁場の中で 1500 rpm で回転します。起電力の実効値 E_rms を求めてください。

N = 50A = 5 cm × 15 cmB = 0.5 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF

V_C = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 35.16 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

F_L = −k·2·1 × 10⁻¹²/0.025² = −28.77 N

F_R = −k·4·1 × 10⁻¹²/0.075² = −6.393 N

合力

F = −28.77 + (−6.393) = −35.16 N → |F| = 35.16 N

答え

F = 35.16 N

合力は左向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 36.02 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·3·1 × 10⁻¹²/0.03² = 29.97 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.03² = 19.98 N

ベクトル和

F = √(29.97² + 19.98²) = 36.02 N

答え

F = 36.02 N

3.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 7.913 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 8 + 10 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3.913 Ω

R_eq = R₁ + 3.913 = 4 + 3.913 = 7.913 Ω

答え

R_eq = 7.913 Ω

4.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 5.412 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 12 + 10 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4.074 Ω

R₃ + 4.074 = 6.074 Ω

R₂ ∥ 6.074 = 2.412 Ω

R_eq = R₁ + 2.412 = 3 + 2.412 = 5.412 Ω

答え

R_eq = 5.412 Ω

5.RC・RL 過渡現象

答え: v_L = 4.463 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6.667 ms

i(∞) = V_s/R = 20/33 = 0.6061 A

コイルの電圧

t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−10/6.667 = 4.463 V

答え

v_L = 4.463 V

6.RC・RL 過渡現象

答え: t = 756.4 ms

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms

v_C(t) = 6 + (24 − 6)·e^−t/τ

時間について解く

9.6 = 6 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9.6 − 6)/(24 − 6) = 0.2

t = τ·ln((24 − 6)/(9.6 − 6)) = 470·ln(5) = 756.4 ms

答え

t = 756.4 ms

7.磁場と電磁誘導

答え: I = 800 mA

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

運動起電力

ε = BLv = 0.4·0.5·4 = 0.8 V

電流

I = ε/R = 0.8/1 = 0.8 A

答え

I = 800 mA

8.磁場と電磁誘導

答え: E_rms = 20.83 V

角速度と面積

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

A = 0.0075 m²

ピーク起電力

E₀ = NBAω = 50·0.5·0.0075·157.1 = 29.45 V

実効値

E_rms = 29.45/√2 = 20.83 V

答え

E_rms = 20.83 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.1817 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795.8 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−544.4)²) = 550.3 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 100/550.3 = 0.1817 A

答え

I = 0.1817 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 14.07 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−101.7)²) = 102.8 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/102.8 = 0.1167 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.1167·120.6 = 14.07 V

答え

V_C = 14.07 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism