クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+5 µC の電荷と +4 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 15 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +5 µCq2 = +4 µCr1 = 15 cmr2 = 45 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+3 µC と +3 µC の電荷が 20 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 3 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +3 µCq2 = +3 µCd = 20 cmh = 3 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 ΩR5 = 4 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
コイルには 1.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 電流が 0.3 A まで下がるのにどれだけかかるか。t を求めよ。
i(0) = 1.5 AR = 15 ΩL = 220 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 6 V に充電されている。 t = 250 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 20 VR = 6.8 kΩC = 68 µFvC(0) = 6 Vt = 250 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
25 巻き、面積 200 cm²、抵抗 10 Ω のコイルが閉回路をつくっています。コイルに垂直な一様な磁場が、40 ms で 0 T から 0.1 T まで一定の割合で増加します。 平均誘導電流 I を求めてください。
N = 25A = 200 cm²B: 0 T → 0.1 TΔt = 40 msR = 10 Ω
I = mA
8.磁場と電磁誘導むずかしい
速度選択器では、直交する電場 E = 4 × 10⁴ V/m と磁場 B = 0.05 T によって、1 つの速さのイオンだけがまっすぐ通り抜けます。その速さ v を求めてください。
E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0.05 T
v = m/s
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、50 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 50 mH
|Z| = Ω
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.82 × 10⁶ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.15² = 1.998 × 10⁶ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.45² = 177580 N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |1.998 × 10⁶ − 177580| = 1.82 × 10⁶ N/C
答え
E = 1.82 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.422 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(10² + 3²) = 10.44 cm
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.1044² = 2.474 × 10⁶ N/C
成分
電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(h/r) = 2·2.474 × 10⁶·0.2873 = 1.422 × 10⁶ N/C
答え
E = 1.422 × 10⁶ N/C
電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 1.045 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 6 + 15 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 15·21/(15+21) = 8.75 Ω
Req = R1 + 8.75 = 8 + 8.75 = 16.75 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 30/16.75 = 1.791 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1.791·8 = 15.67 V
IR2 = VA/R2 = 15.67/15 = 1.045 A
答え
IR2 = 1.045 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.461 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 4 + 10 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 5.833 Ω
R3 + 5.833 = 9.833 Ω
R2 ∥ 9.833 = 2.843 Ω
Req = R1 + 2.843 = 4 + 2.843 = 6.843 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/6.843 = 1.461 A
答え
IR1 = 1.461 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: t = 23.61 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数
τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14.67 ms
時間について解く
0.3 = 1.5·e−t/τ → t = τ·ln(1.5/0.3)
t = 14.67·ln(5) = 23.61 ms
答え
t = 23.61 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 11.85 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 68 µF = 462.4 ms
vC(t) = 20 + (6 − 20)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(250) = 20 + (−14)·e−250/462.4 = 11.85 V
答え
vC = 11.85 V
7.磁場と電磁誘導
答え: I = 125 mA
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
1 巻きあたりの磁束の変化
ΔΦ = (0.1 − 0)·0.02 = 0.002 Wb
平均起電力
ε = NΔΦ/Δt = 25·0.002/0.04 = 1.25 V
電流
I = ε/R = 1.25/10 = 0.125 A
答え
I = 125 mA
8.磁場と電磁誘導
答え: v = 800000 m/s
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
選ばれる速さ
曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。
v = E/B1 = 4 × 10⁴/0.05 = 800000 m/s
答え
v = 800000 m/s
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 39.12 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·200·0.05 = 62.83 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 50/50 = 1 A
IX = V/XL = 50/62.83 = 0.7958 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(1² + 0.7958²) = 1.278 A
インピーダンス
|Z| = V/I = 50/1.278 = 39.12 Ω
答え
|Z| = 39.12 Ω
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.6038 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (171.7)²) = 198.7 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 120/198.7 = 0.6038 A
答え
I = 0.6038 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism