物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+4 µC の電荷と +3 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 7.5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +4 µCq₂ = +3 µCr₁ = 7.5 cmr₂ = 2.5 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

それぞれ質量 1 g の 2 つの同じ小球が、長さ 80 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 15° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 80 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 v_L を求めよ。

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 20 V に充電されている。 v_C が 14.4 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

V_s = 6 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.磁場と電磁誘導ふつう

陽子が、紙面の手前向きの一様な磁場の中を紙面の下向きに動きます。それに働く磁気力の向きをクリックしてください。

v: 紙面の下向きB: 紙面の手前向き

1紙面の上向き
2右向き
3紙面の下向き
4左向き

8.磁場と電磁誘導むずかしい

100 巻き、5 cm × 20 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.3 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 6.664 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？

N = 100A = 5 cm × 20 cmB = 0.3 TE_rms = 6.664 V

n = rpm

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 3.676 × 10⁷ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.075² = 6.393 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0.025² = 4.315 × 10⁷ N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |6.393 × 10⁶ − 4.315 × 10⁷| = 3.676 × 10⁷ N/C

答え

E = 3.676 × 10⁷ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: q = 223.9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

つり合いからの電気力

張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。

F = m·g·tan θ = 0.001·9.81·tan 15° = 0.002629 N

間隔

r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 15° = 0.4141 m

電荷

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.4141·√(0.002629/8.99 × 10⁹) = 2.239 × 10⁻⁷ C = 223.9 nC

答え

q = 223.9 nC

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 3.091 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_eq = R₁ + 1.765 = 6 + 1.765 = 7.765 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7.765 = 3.091 A

答え

I_R1 = 3.091 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.5076 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 2 + 20 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 5.867 Ω

R₃ + 5.867 = 35.87 Ω

R₂ ∥ 35.87 = 14.73 Ω

R_eq = R₁ + 14.73 = 3 + 14.73 = 17.73 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/17.73 = 0.5076 A

答え

I_R1 = 0.5076 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: v_L = 1.839 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0.07353 A

コイルの電圧

t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/1 = 1.839 V

答え

v_L = 1.839 V

6.RC・RL 過渡現象

答え: t = 347.4 ms

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 6 + (20 − 6)·e^−t/τ

時間について解く

14.4 = 6 + (14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14.4 − 6)/(20 − 6) = 0.6

t = τ·ln((20 − 6)/(14.4 − 6)) = 680·ln(1.667) = 347.4 ms

答え

t = 347.4 ms

7.磁場と電磁誘導

答え: 左向き

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手の法則

指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。

v: 紙面の下向き, B: 紙面の手前向き

力の向き

左向き

答え

F: 左向き

8.磁場と電磁誘導

答え: n = 300 rpm

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

ピーク起電力

E₀ = √2·E_rms = 9.424 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 9.424/(100·0.3·0.01) = 31.41 rad/s

毎分回転数

n = 60·31.41/(2π) = 300 rpm

答え

n = 300 rpm

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.967 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−113)²) = 116.9 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 230/116.9 = 1.967 A

答え

I = 1.967 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.102 A

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−213)²) = 235.3 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 24/235.3 = 0.102 A

答え

I = 0.102 A

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