クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
2 つの同じ小さな金属球が −4 µC と +1 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 10 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −4 µCq2 = +1 µCr = 10 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 10 µC はそこから一方の辺に沿って 6 cm の位置に、q₂ = 4 µC はもう一方の辺に沿って 6 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 10 µCq2 = 4 µCq3 = 10 µCr13 = 6 cmr23 = 6 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 5 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 t = 120 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 24 VR1 = 10 kΩR2 = 4.7 kΩC = 22 µFt = 120 ms
vC = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 3 V に充電されている。 t = 1000 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 6 VR = 6.8 kΩC = 220 µFvC(0) = 3 Vt = 1000 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
8 × 10⁶ m/s で動く Α粒子 が、一様な磁場に直角に入り、半径 33.18 cm の円運動をします。磁束密度 B を求めてください。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sr = 33.18 cm
B = T
8.磁場と電磁誘導むずかしい
100 巻きの短いコイルが、800 巻き、長さ 40 cm、直径 4 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。ソレノイドの電流は 100 A/s の割合で変化します。短いコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。
N1 = 800N2 = 100l = 40 cm⌀ = 4 cmdi/dt = 100 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 1 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 50 mHC = 1 µF
VL = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 2.023 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触後の電荷
q′ = (−4 + 1)/2 = −1.5 µC
新しい力
F = 8.99 × 10⁹·(1.5 × 10⁻⁶)²/0.1² = 2.023 N
答え
F = 2.023 N
両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 269 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·10·10 × 10⁻¹²/0.06² = 249.7 N
F2 = k·4·10 × 10⁻¹²/0.06² = 99.89 N
ベクトル和
F = √(249.7² + 99.89²) = 269 N
答え
F = 269 N
3.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 3.971 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1.8 Ω
Req = R1 + 1.8 = 5 + 1.8 = 6.8 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 30/6.8 = 4.412 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 4.412·5 = 7.941 V
IR2 = VA/R2 = 7.941/2 = 3.971 A
答え
IR2 = 3.971 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.2044 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 5 + 10 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 33.57 Ω
R2 ∥ 33.57 = 4.352 Ω
Req = R1 + 4.352 = 25 + 4.352 = 29.35 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/29.35 = 0.2044 A
答え
IR1 = 0.2044 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 6.28 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 10·4.7/(10 + 4.7) = 3.197 kΩ
vC(∞) = 24·4.7/(10 + 4.7) = 7.673 V
時定数
τ = Rth·C = 3.197·22 = 70.34 ms
充電曲線
vC(t) = 7.673·(1 − e−120/70.34) = 6.28 V
答え
vC = 6.28 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 4.462 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 220 µF = 1496 ms
vC(t) = 6 + (3 − 6)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(1000) = 6 + (−3)·e−1000/1496 = 4.462 V
答え
vC = 4.462 V
7.磁場と電磁誘導
答え: B = 0.5001 T
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
半径から求める磁場
B = mv/(|q|r) = 6.645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.3318) = 0.5001 T
答え
B = 0.5001 T
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 31.58 mV
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
相互インダクタンス
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·100·0.001257/0.4 = 315.8 µH
誘導起電力
ε = M·di/dt = 0.0003158·100 = 31.58 mV
答え
ε = 31.58 mV
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −84.74 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−326.1)²) = 327.4 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−326.1/30) = −84.74°
答え
φ = −84.74°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 14.91 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·1·10⁻⁶) = 4472 rad/s
I = V/R = 1/15 = 0.06667 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 4472·0.05 = 223.6 Ω
VL = I·XL = 0.06667·223.6 = 14.91 V
答え
VL = 14.91 V
これは電源電圧の Q = 14.91 倍です。
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