クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+3 µC の電荷と −3 µC の電荷が 50 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 30 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +3 µCq2 = −3 µCr1 = 30 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
それぞれ質量 8 g の 2 つの同じ小球が、長さ 60 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 20° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 60 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 ΩR4 = 25 ΩR5 = 5 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。
Vs = 9 VR1 = 1 kΩR2 = 4.7 kΩC = 22 µF
τ = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 250 ms で R2 を流れる電流 i2 を求めよ。
Vs = 30 VR1 = 3.3 kΩR2 = 6.8 kΩC = 33 µFt = 250 ms
i2 = mA
7.磁場と電磁誘導ふつう
4 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、逆向きに 12 A と 2 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。
I1 = 12 AI2 = 2 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
空芯の長いソレノイドの巻き数は 1000、長さは 30 cm、直径は 4 cm です。その自己インダクタンス L を求めてください。
N = 1000l = 30 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、100 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 40 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 973917 N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.3² = 299667 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.2² = 674250 N/C
向きと合成
1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。
E = |299667 + 674250| = 973917 N/C
答え
E = 973917 N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: q = 731.6 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
つり合いからの電気力
張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。
F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 20° = 0.02856 N
間隔
r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 20° = 0.4104 m
電荷
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.4104·√(0.02856/8.99 × 10⁹) = 7.316 × 10⁻⁷ C = 731.6 nC
答え
q = 731.6 nC
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 11.67 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω
Req = R1 + 6.667 = 5 + 6.667 = 11.67 Ω
答え
Req = 11.67 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 13.27 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 5 + 25 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 13.64 Ω
R3 + 13.64 = 43.64 Ω
R2 ∥ 43.64 = 5.275 Ω
Req = R1 + 5.275 = 8 + 5.275 = 13.27 Ω
答え
Req = 13.27 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: τ = 18.14 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 1·4.7/(1 + 4.7) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 9·4.7/(1 + 4.7) = 7.421 V
時定数
τ = Rth·C = 0.8246·22 = 18.14 ms
答え
τ = 18.14 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: i2 = 0.9749 mA
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサの初期電圧
定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。
vC(0) = 30·6.8/(3.3 + 6.8) = 20.2 V
スイッチが開いた後の時定数
τ = R2·C = 6.8·33 = 224.4 ms
放電
vC(t) = 20.2·e−250/224.4 = 6.629 V
i2 = vC/R2 = 6.629/6.8 = 0.9749 mA
答え
i2 = 0.9749 mA
7.磁場と電磁誘導
答え: F/L = 120 µN/m
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
1 メートルあたりの力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·12·2/0.04 = 120 µN/m
答え
F/L = 120 µN/m
逆向きの電流は反発し合います。
8.磁場と電磁誘導
答え: L = 5.264 mH
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
断面
A = π·(0.02)² = 0.001257 m²
自己インダクタンス
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0.001257/0.3 = 0.005264 H = 5.264 mH
答え
L = 5.264 mH
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.2095 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−97.56)²) = 114.5 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 24/114.5 = 0.2095 A
答え
I = 0.2095 A
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 1.095 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 48.09 − j23.93 Ω
合成インピーダンス
Z = 40 + 48.09 − j23.93 = 88.09 − j23.93 Ω
|Z| = √(88.09² + 23.93²) = 91.28 Ω
電流
I = V/|Z| = 100/91.28 = 1.095 A
答え
I = 1.095 A
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