クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
3 つの点電荷が一直線上にある：左に +2 µC、そこから 30 cm 右に −8 µC、その間で左の電荷から 7.5 cm の位置に −2 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +2 µCqR = −8 µCqM = −2 µCrL = 7.5 cmrR = 22.5 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+5 µC と +5 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 4 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +5 µCq2 = +5 µCd = 10 cmh = 4 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 5 VR1 = 8 ΩR2 = 30 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 ΩR5 = 3 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
Vs = 5 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 40 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 12 VR1 = 6.8 kΩR2 = 1 kΩC = 22 µFt = 40 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
250 巻きのコイルの面積は 50 cm² です。コイルが、その面に垂直な 0.5 T の一様な磁場の中にあり、磁場が 20 ms で切られます。 平均誘導起電力 ε を求めてください。
N = 250A = 50 cm²B = 0.5 TΔt = 20 ms
ε = V
8.磁場と電磁誘導むずかしい
150 巻き、5 cm × 5 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.2 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 19.99 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？
N = 150A = 5 cm × 5 cmB = 0.2 TErms = 19.99 V
n = rpm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、12 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 500 HzR1 = 50 ΩR2 = 30 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 9.234 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
各電荷からの力
右向きを正とします。
FL = −k·2·2 × 10⁻¹²/0.075² = −6.393 N
FR = −k·8·2 × 10⁻¹²/0.225² = −2.841 N
合力
F = −6.393 + (−2.841) = −9.234 N → |F| = 9.234 N
答え
F = 9.234 N
合力は左向きです。
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.37 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(5² + 4²) = 6.403 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.06403² = 1.096 × 10⁷ N/C
成分
電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(h/r) = 2·1.096 × 10⁷·0.6247 = 1.37 × 10⁷ N/C
答え
E = 1.37 × 10⁷ N/C
電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.8793 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 2 + 12 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω
Req = R1 + 8.235 = 2 + 8.235 = 10.24 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/10.24 = 0.8793 A
答え
IR1 = 0.8793 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.08237 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 10.57 Ω
R2 ∥ 10.57 = 7.817 Ω
Req = R1 + 7.817 = 8 + 7.817 = 15.82 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 5/15.82 = 0.3161 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.3161·8 = 2.471 V
IR2 = VA/R2 = 2.471/30 = 0.08237 A
答え
IR2 = 0.08237 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vL = 2.397 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms
i(∞) = Vs/R = 5/50 = 0.1 A
コイルの電圧
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−1/1.36 = 2.397 V
答え
vL = 2.397 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 0.2497 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサの初期電圧
定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。
vC(0) = 12·1/(6.8 + 1) = 1.538 V
スイッチが開いた後の時定数
τ = R2·C = 1·22 = 22 ms
放電
vC(t) = 1.538·e−40/22 = 0.2497 V
答え
vC = 0.2497 V
7.磁場と電磁誘導
答え: ε = 31.25 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
1 巻きあたりの磁束の変化
ΔΦ = 0.5·0.005 = 0.0025 Wb
平均起電力
ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0025/0.02 = 31.25 V
答え
ε = 31.25 V
8.磁場と電磁誘導
答え: n = 3599 rpm
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
ピーク起電力
E₀ = √2·Erms = 28.27 V
角速度
ω = E₀/(NBA) = 28.27/(150·0.2·0.0025) = 376.9 rad/s
毎分回転数
n = 60·376.9/(2π) = 3599 rpm
答え
n = 3599 rpm
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.1919 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (54.87)²) = 62.54 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 12/62.54 = 0.1919 A
答え
I = 0.1919 A
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 56.89 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 5.661 − j11.74 Ω
合成インピーダンス
Z = 50 + 5.661 − j11.74 = 55.66 − j11.74 Ω
|Z| = √(55.66² + 11.74²) = 56.89 Ω
答え
|Z| = 56.89 Ω
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism