クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+4 µC の電荷と −4 µC の電荷が 50 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 37.5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +4 µCq2 = −4 µCr1 = 37.5 cmr2 = 12.5 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+8 µC と +8 µC の電荷が 20 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 5 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +8 µCq2 = +8 µCd = 20 cmh = 5 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 18 VR1 = 30 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 15 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。
Vs = 24 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 18 V に充電されている。 t = 30 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 15 VR = 3.3 kΩC = 22 µFvC(0) = 18 Vt = 30 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
6 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 10 A と 20 A の電流が流れています。両者のちょうど中間の点 P での磁束密度の大きさ B を求めてください。
I1 = 10 AI2 = 20 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁場と電磁誘導むずかしい
空芯の長いソレノイドの巻き数は 200、長さは 15 cm、直径は 2.5 cm です。3 A が流れているとき、その磁場に蓄えられるエネルギー W を求めてください。
N = 200l = 15 cm⌀ = 2.5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 100 µF
cos φ =
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 2.557 × 10⁶ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.375² = 255716 N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.125² = 2.301 × 10⁶ N/C
向きと合成
1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。
E = |255716 + 2.301 × 10⁶| = 2.557 × 10⁶ N/C
答え
E = 2.557 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 5.146 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(10² + 5²) = 11.18 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.1118² = 5.754 × 10⁶ N/C
成分
電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(h/r) = 2·5.754 × 10⁶·0.4472 = 5.146 × 10⁶ N/C
答え
E = 5.146 × 10⁶ N/C
電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 16.57 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 15 + 5 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω
Req = R1 + 8.571 = 8 + 8.571 = 16.57 Ω
答え
Req = 16.57 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 39.29 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 15 + 30 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 6.792 Ω
R3 + 6.792 = 14.79 Ω
R2 ∥ 14.79 = 9.294 Ω
Req = R1 + 9.294 = 30 + 9.294 = 39.29 Ω
答え
Req = 39.29 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: W = 5.383 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0.5 ms
i(∞) = Vs/R = 24/20 = 1.2 A
指定時刻の電流
i(t) = 1.2·(1 − e−1/0.5) = 1.038 A
蓄積エネルギー
W = ½·L·i² = ½·10·1.038² = 5.383 mJ
答え
W = 5.383 mJ
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 16.98 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 22 µF = 72.6 ms
vC(t) = 15 + (18 − 15)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(30) = 15 + (3)·e−30/72.6 = 16.98 V
答え
vC = 16.98 V
7.磁場と電磁誘導
答え: B = 66.67 µT
電流がつくる磁場：長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になり（右手の法則）、B = μ₀I/(2πr) です。N 巻きの平らな円形コイルの中心では B = μ₀NI/(2R) です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によらず B = μ₀nI、n = N/L は 1 メートルあたりの巻き数です。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。SI 単位（メートルとアンペア）で計算し、複数の源による磁場はベクトルとして足します。
P での各導線の磁場
B1 = 2 × 10⁻⁷·10/0.03 = 66.67 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·20/0.03 = 133.3 µT
組み合わせる
B = |B₁ − B₂| = 66.67 µT
答え
B = 66.67 µT
8.磁場と電磁誘導
答え: W = 740.2 µJ
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
自己インダクタンス
L = μ₀N²A/l = 164.5 µH
蓄積エネルギー
W = ½LI² = ½·0.0001645·3² = 0.0007402 J = 740.2 µJ
答え
W = 740.2 µJ
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: cos φ = 0.4797
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 62.83 Ω, XC = 7.958 Ω
インピーダンス
|Z| = √(30² + (54.87)²) = 62.54 Ω
力率
cos φ = R/|Z| = 30/62.54 = 0.4797
回路は誘導性なので、力率は遅れです。
答え
cos φ = 0.4797
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 0.7304 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.2 = 1257 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (1184)²) = 1189 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 12/1189 = 0.0101 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.0101·72.34 = 0.7304 V
答え
VC = 0.7304 V
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