物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+5 µC の電荷と +10 µC の電荷が 20 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 10 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +5 µCq₂ = +10 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 5 µC は直角の頂点に、q₁ = 2 µC はそこから一方の辺に沿って 8 cm の位置に、q₂ = 8 µC はもう一方の辺に沿って 3 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 2 µCq₂ = 8 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 t = 300 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 6 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µFt = 300 ms

v_C = V

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R₂ を短絡する。 t = 5 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

V_s = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

7.磁場と電磁誘導ふつう

500 巻きのコイルの面積は 100 cm² です。コイルが、その面に垂直な 0.5 T の一様な磁場の中にあり、磁場が 200 ms で切られます。平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 500A = 100 cm²B = 0.5 TΔt = 200 ms

ε = V

8.磁場と電磁誘導むずかしい

50 巻き、10 cm × 10 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.25 T の一様な磁場の中で 3600 rpm で回転します。起電力の実効値 E_rms を求めてください。

N = 50A = 10 cm × 10 cmB = 0.25 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

cos φ =

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_C = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 4.495 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0.1² = 4.495 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0.1² = 8.99 × 10⁶ N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |4.495 × 10⁶ − 8.99 × 10⁶| = 4.495 × 10⁶ N/C

答え

E = 4.495 × 10⁶ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 399.8 N

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·2·5 × 10⁻¹²/0.08² = 14.05 N

F₂ = k·8·5 × 10⁻¹²/0.03² = 399.6 N

ベクトル和

F = √(14.05² + 399.6²) = 399.8 N

答え

F = 399.8 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 3.158 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1.75 Ω

R_eq = R₁ + 1.75 = 3 + 1.75 = 4.75 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/4.75 = 3.158 A

答え

I_R1 = 3.158 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 5.073 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 5 + 30 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 10.5 Ω

R₃ + 10.5 = 30.5 Ω

R₂ ∥ 30.5 = 2.731 Ω

R_eq = R₁ + 2.731 = 2 + 2.731 = 4.731 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/4.731 = 5.073 A

答え

I_R1 = 5.073 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 1.021 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

コンデンサから見たテブナン等価回路

電源を短絡して R_th を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·10/(6.8 + 10) = 4.048 kΩ

v_C(∞) = 6·10/(6.8 + 10) = 3.571 V

時定数

τ = R_th·C = 4.048·220 = 890.5 ms

充電曲線

v_C(t) = 3.571·(1 − e^−300/890.5) = 1.021 V

答え

v_C = 1.021 V

6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.7053 A

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 15/(20 + 20) = 0.375 A

i(∞) = 15/20 = 0.75 A

τ = L/R = 47/20 = 2.35 ms

i(t) = 0.75 + (0.375 − 0.75)·e^−t/τ

指定時刻の電流

i(5) = 0.75 + (−0.375)·e^−5/2.35 = 0.7053 A

答え

i = 0.7053 A

7.磁場と電磁誘導

答え: ε = 12.5 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = 0.5·0.01 = 0.005 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.005/0.2 = 12.5 V

答え

ε = 12.5 V

8.磁場と電磁誘導

答え: E_rms = 33.32 V

角速度と面積

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0.01 m²

ピーク起電力

E₀ = NBAω = 50·0.25·0.01·377 = 47.12 V

実効値

E_rms = 47.12/√2 = 33.32 V

答え

E_rms = 33.32 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.9525

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 188.5 Ω, X_C = 169.3 Ω

インピーダンス

|Z| = √(60² + (19.18)²) = 62.99 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 60/62.99 = 0.9525

回路は誘導性なので、力率は遅れです。

答え

cos φ = 0.9525

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 6.316 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (298.2)²) = 302.4 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/302.4 = 0.3968 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.3968·15.92 = 6.316 V

答え

V_C = 6.316 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism