クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
3 つの点電荷が一直線上にある：左に +1 µC、そこから 40 cm 右に −8 µC、その間で左の電荷から 24 cm の位置に +8 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +1 µCqR = −8 µCqM = +8 µCrL = 24 cmrR = 16 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 3 µC は直角の頂点に、q₁ = 10 µC はそこから一方の辺に沿って 3 cm の位置に、q₂ = 10 µC はもう一方の辺に沿って 10 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 10 µCq2 = 10 µCq3 = 3 µCr13 = 3 cmr23 = 10 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩR4 = 8 ΩR5 = 6 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。
Vs = 15 VR1 = 3.3 kΩR2 = 6.8 kΩC = 47 µF
τ = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 8 V に充電されている。 vC が 12.9 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 15 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
長さ 20 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.6 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 4 m/s で滑ります。レールは 10 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。棒を一定の速さで動かし続けるのに必要な力 F を求めてください（摩擦はありません）。
B = 0.6 TL = 20 cmv = 4 m/sR = 10 Ω
F = mN
8.磁場と電磁誘導むずかしい
100 巻き、20 cm × 25 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.1 T の一様な磁場の中で 600 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。
N = 100A = 20 cm × 25 cmB = 0.1 Tn = 600 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 47 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 5 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 5 mHC = 0.22 µF
VL = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 23.72 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
各電荷からの力
右向きを正とします。
FL = +k·1·8 × 10⁻¹²/0.24² = 1.249 N
FR = +k·8·8 × 10⁻¹²/0.16² = 22.47 N
合力
F = 1.249 + (22.47) = 23.72 N → |F| = 23.72 N
答え
F = 23.72 N
合力は右向きです。
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 300.9 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·10·3 × 10⁻¹²/0.03² = 299.7 N
F2 = k·10·3 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N
ベクトル和
F = √(299.7² + 26.97²) = 300.9 N
答え
F = 300.9 N
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.4406 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 10·32/(10+32) = 7.619 Ω
Req = R1 + 7.619 = 6 + 7.619 = 13.62 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/13.62 = 0.4406 A
答え
IR1 = 0.4406 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.745 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 6 + 15 = 21 Ω
R4 ∥ 21 = 5.793 Ω
R3 + 5.793 = 35.79 Ω
R2 ∥ 35.79 = 3.598 Ω
Req = R1 + 3.598 = 5 + 3.598 = 8.598 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 15/8.598 = 1.745 A
答え
IR1 = 1.745 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: τ = 104.4 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·6.8/(3.3 + 6.8) = 2.222 kΩ
vC(∞) = 15·6.8/(3.3 + 6.8) = 10.1 V
時定数
τ = Rth·C = 2.222·47 = 104.4 ms
答え
τ = 104.4 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 2649 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 15 + (8 − 15)·e−t/τ
時間について解く
12.9 = 15 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (12.9 − 15)/(8 − 15) = 0.3
t = τ·ln((8 − 15)/(12.9 − 15)) = 2200·ln(3.333) = 2649 ms
答え
t = 2649 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: F = 5.76 mN
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
運動起電力
ε = BLv = 0.6·0.2·4 = 0.48 V
電流
I = ε/R = 0.48/10 = 0.048 A
制動力
レンツの法則：誘導電流に働く力は運動を妨げます。
F = BIL = 0.6·0.048·0.2 = 0.00576 N
答え
F = 5.76 mN
8.磁場と電磁誘導
答え: E0 = 31.42 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s
A = 0.05 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 100·0.1·0.05·62.83 = 31.42 V
答え
E0 = 31.42 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 15.13 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (10.81)²) = 41.44 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(10.81/40) = 15.13°
答え
φ = 15.13°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 15.08 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.22·10⁻⁶) = 30151 rad/s
I = V/R = 5/50 = 0.1 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 30151·0.005 = 150.8 Ω
VL = I·XL = 0.1·150.8 = 15.08 V
答え
VL = 15.08 V
これは電源電圧の Q = 3.015 倍です。
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