物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +1 µC、そこから 30 cm 右に −8 µC、その間で左の電荷から 7.5 cm の位置に −3 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +1 µCq_R = −8 µCq_M = −3 µCr_L = 7.5 cmr_R = 22.5 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 3 µC は直角の頂点に、q₁ = 10 µC はそこから一方の辺に沿って 3 cm の位置に、q₂ = 6 µC はもう一方の辺に沿って 5 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 10 µCq₂ = 6 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µF

τ = ms

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 100 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 100 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

電子が、5 mT の一様な磁場に垂直に 4 × 10⁶ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 5 mT

r = cm

8.磁場と電磁誘導むずかしい

150 巻き、8 cm × 15 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.2 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 15.99 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？

N = 150A = 8 cm × 15 cmB = 0.2 TE_rms = 15.99 V

n = rpm

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 100 Ω、L = 200 mH、C = 0.47 µF である。帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 100 ΩL = 200 mHC = 0.47 µF

B = Hz

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 9.057 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

F_L = −k·1·3 × 10⁻¹²/0.075² = −4.795 N

F_R = −k·8·3 × 10⁻¹²/0.225² = −4.262 N

合力

F = −4.795 + (−4.262) = −9.057 N → |F| = 9.057 N

答え

F = 9.057 N

合力は左向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 306.6 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·10·3 × 10⁻¹²/0.03² = 299.7 N

F₂ = k·6·3 × 10⁻¹²/0.05² = 64.73 N

ベクトル和

F = √(299.7² + 64.73²) = 306.6 N

答え

F = 306.6 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.6316 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 8 + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4.364 Ω

R_eq = R₁ + 4.364 = 6 + 4.364 = 10.36 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/10.36 = 0.8684 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.8684·6 = 3.789 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.789/6 = 0.6316 A

答え

I_R2 = 0.6316 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.3711 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 8.108 Ω

R₃ + 8.108 = 10.11 Ω

R₂ ∥ 10.11 = 6.039 Ω

R_eq = R₁ + 6.039 = 20 + 6.039 = 26.04 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/26.04 = 0.9217 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0.9217·20 = 5.566 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.566/15 = 0.3711 A

答え

I_R2 = 0.3711 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: τ = 168.7 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

コンデンサから見たテブナン等価回路

電源を短絡して R_th を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3.3·10/(3.3 + 10) = 2.481 kΩ

v_C(∞) = 12·10/(3.3 + 10) = 9.023 V

時定数

τ = R_th·C = 2.481·68 = 168.7 ms

答え

τ = 168.7 ms

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 0.6924 V

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 12·1/(10 + 1) = 1.091 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 1·220 = 220 ms

放電

v_C(t) = 1.091·e^−100/220 = 0.6924 V

答え

v_C = 0.6924 V

7.磁場と電磁誘導

答え: r = 0.4549 cm

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力のつり合い

磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 9.109 × 10⁻³¹·4 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.005) = 0.004549 m = 0.4549 cm

答え

r = 0.4549 cm

8.磁場と電磁誘導

答え: n = 599.8 rpm

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

ピーク起電力

E₀ = √2·E_rms = 22.61 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 22.61/(150·0.2·0.012) = 62.81 rad/s

毎分回転数

n = 60·62.81/(2π) = 599.8 rpm

答え

n = 599.8 rpm

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.03984 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (299.7)²) = 301.2 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/301.2 = 0.03984 A

答え

I = 0.03984 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 79.58 Hz

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.2·0.47·10⁻⁶)) = 519.1 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.2/(0.47·10⁻⁶)) = 6.523

帯域幅

B = f₀/Q = 519.1/6.523 = 79.58 Hz

答え

B = 79.58 Hz

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