クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
3 つの点電荷が一直線上にある：左に +6 µC、そこから 30 cm 右に +10 µC、その間で左の電荷から 15 cm の位置に +10 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +6 µCqR = +10 µCqM = +10 µCrL = 15 cmrR = 15 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 2 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 4 cm、極板間の電場は 3600 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 ΩR5 = 30 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 50% に達するか。t を求めよ。
Vs = 15 VR = 10 ΩL = 220 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 50 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 12 VR1 = 2.2 kΩR2 = 1 kΩC = 33 µFt = 50 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
Α粒子 が、1 T の一様な磁場に垂直に 5 × 10⁶ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 1 T
r = cm
8.磁場と電磁誘導むずかしい
空芯の長いソレノイドの巻き数は 1000、長さは 15 cm、直径は 1 cm です。その自己インダクタンス L を求めてください。
N = 1000l = 15 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、100 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 100 mH
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、230 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 500 HzR1 = 40 ΩR2 = 60 ΩC = 4.7 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 15.98 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
各電荷からの力
右向きを正とします。
FL = +k·6·10 × 10⁻¹²/0.15² = 23.97 N
FR = −k·10·10 × 10⁻¹²/0.15² = −39.96 N
合力
F = 23.97 + (−39.96) = −15.98 N → |F| = 15.98 N
答え
F = 15.98 N
合力は左向きです。
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 1.266 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.04/2 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3600/9.109 × 10⁻³¹ = 6.331 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·6.331 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0.001266 m = 1.266 mm
答え
y = 1.266 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.445 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 4·27/(4+27) = 3.484 Ω
Req = R1 + 3.484 = 10 + 3.484 = 13.48 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/13.48 = 0.445 A
答え
IR1 = 0.445 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.7605 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 30 + 15 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 5.294 Ω
R3 + 5.294 = 11.29 Ω
R2 ∥ 11.29 = 7.78 Ω
Req = R1 + 7.78 = 8 + 7.78 = 15.78 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 12/15.78 = 0.7605 A
答え
IR1 = 0.7605 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: t = 15.25 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1.5 A
時間について解く
0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −22·ln(0.5) = 15.25 ms
答え
t = 15.25 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 0.8242 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサの初期電圧
定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。
vC(0) = 12·1/(2.2 + 1) = 3.75 V
スイッチが開いた後の時定数
τ = R2·C = 1·33 = 33 ms
放電
vC(t) = 3.75·e−50/33 = 0.8242 V
答え
vC = 0.8242 V
7.磁場と電磁誘導
答え: r = 10.37 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力のつり合い
磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 6.645 × 10⁻²⁷·5 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·1) = 0.1037 m = 10.37 cm
答え
r = 10.37 cm
8.磁場と電磁誘導
答え: L = 658 µH
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
断面
A = π·(0.005)² = 7.854 × 10⁻⁵ m²
自己インダクタンス
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·7.854 × 10⁻⁵/0.15 = 0.000658 H = 658 µH
答え
L = 658 µH
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 14.86 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 100/10 = 10 A
IX = V/XL = 100/37.7 = 2.653 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(10² + 2.653²) = 10.35 A
位相角
コイルの電流は V より遅れるので、全電流も遅れ、角度は正です。
φ = arctan(IX/IR) = arctan(2.653/10) = 14.86°
答え
φ = 14.86°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 79.41 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 33.62 − j29.78 Ω
合成インピーダンス
Z = 40 + 33.62 − j29.78 = 73.62 − j29.78 Ω
|Z| = √(73.62² + 29.78²) = 79.41 Ω
答え
|Z| = 79.41 Ω
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