クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
3 つの点電荷が一直線上にある：左に +4 µC、そこから 10 cm 右に −2 µC、その間で左の電荷から 5 cm の位置に +6 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +4 µCqR = −2 µCqM = +6 µCrL = 5 cmrR = 5 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 3 µC はそこから一方の辺に沿って 8 cm の位置に、q₂ = 4 µC はもう一方の辺に沿って 3 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 3 µCq2 = 4 µCq3 = 10 µCr13 = 8 cmr23 = 3 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 ΩR5 = 3 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
コイルには 1.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 5 ms での R の両端電圧 vR を求めよ。
i(0) = 1.5 AR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms
vR = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 20 V に充電されている。 t = 50 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 6 VR = 2.2 kΩC = 68 µFvC(0) = 20 Vt = 50 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
陽子 が、0.5 T の一様な磁場に垂直に 1 × 10⁵ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁵ m/sB = 0.5 T
r = cm
8.磁場と電磁誘導むずかしい
速度選択器では、直交する電場 E = 2 × 10⁵ V/m と磁場 B = 0.2 T によって、1 つの速さのイオンだけがまっすぐ通り抜けます。その速さ v を求めてください。
E = 2 × 10⁵ V/mB1 = 0.2 T
v = m/s
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 200 mH
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR1 = 15 ΩR2 = 40 ΩC = 100 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 129.5 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
各電荷からの力
右向きを正とします。
FL = +k·4·6 × 10⁻¹²/0.05² = 86.3 N
FR = +k·2·6 × 10⁻¹²/0.05² = 43.15 N
合力
F = 86.3 + (43.15) = 129.5 N → |F| = 129.5 N
答え
F = 129.5 N
合力は右向きです。
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 401.8 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·3·10 × 10⁻¹²/0.08² = 42.14 N
F2 = k·4·10 × 10⁻¹²/0.03² = 399.6 N
ベクトル和
F = √(42.14² + 399.6²) = 401.8 N
答え
F = 401.8 N
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.6393 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 15·27/(15+27) = 9.643 Ω
Req = R1 + 9.643 = 6 + 9.643 = 15.64 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/15.64 = 0.6393 A
答え
IR1 = 0.6393 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.6473 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 3 + 25 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 8.4 Ω
R3 + 8.4 = 16.4 Ω
R2 ∥ 16.4 = 9.903 Ω
Req = R1 + 9.903 = 4 + 9.903 = 13.9 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/13.9 = 0.6473 A
答え
IR1 = 0.6473 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vR = 4.373 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数
τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms
電流の減衰
i(t) = 1.5·e−5/2.061 = 0.1325 A
vR = R·i = 33·0.1325 = 4.373 V
答え
vR = 4.373 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 16.02 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms
vC(t) = 6 + (20 − 6)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(50) = 6 + (14)·e−50/149.6 = 16.02 V
答え
vC = 16.02 V
7.磁場と電磁誘導
答え: r = 0.2089 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力のつり合い
磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 1.673 × 10⁻²⁷·1 × 10⁵/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.5) = 0.002089 m = 0.2089 cm
答え
r = 0.2089 cm
8.磁場と電磁誘導
答え: v = 1 × 10⁶ m/s
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
選ばれる速さ
曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。
v = E/B1 = 2 × 10⁵/0.2 = 1 × 10⁶ m/s
答え
v = 1 × 10⁶ m/s
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 52.98 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·60·0.2 = 75.4 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 24/100 = 0.24 A
IX = V/XL = 24/75.4 = 0.3183 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(0.24² + 0.3183²) = 0.3986 A
位相角
コイルの電流は V より遅れるので、全電流も遅れ、角度は正です。
φ = arctan(IX/IR) = arctan(0.3183/0.24) = 52.98°
答え
φ = 52.98°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 6.998 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 12.22 − j18.42 Ω
合成インピーダンス
Z = 15 + 12.22 − j18.42 = 27.22 − j18.42 Ω
|Z| = √(27.22² + 18.42²) = 32.87 Ω
電流
I = V/|Z| = 230/32.87 = 6.998 A
答え
I = 6.998 A
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