クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+5 µC と +3 µC の電荷が 10 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+5 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。
q1 = +5 µCq2 = +3 µCd = 10 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 1.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 4 cm、極板間の電場は 4800 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 4800 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 30 ΩR4 = 30 ΩR5 = 3 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。
Vs = 6 VR = 5 ΩL = 47 mH
W(∞) = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 4 V に充電されている。 vC が 4.8 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 5 VR = 6.8 kΩC = 10 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
10 巻きのコイルの面積は 50 cm² です。コイルに垂直な一様な磁場が、50 ms で 0.1 T から 0.7 T まで一定の割合で増加します。 平均誘導起電力 ε を求めてください。
N = 10A = 50 cm²B: 0.1 T → 0.7 TΔt = 50 ms
ε = mV
8.磁場と電磁誘導むずかしい
空芯の長いソレノイドの巻き数は 400、長さは 25 cm、直径は 3 cm です。2.5 A が流れているとき、その磁場に蓄えられるエネルギー W を求めてください。
N = 400l = 25 cm⌀ = 3 cmI = 2.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF
cos φ =
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 100 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: x = 5.635 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
電場が等しい
5/x² = 3/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(3/5) = 0.7746
位置
x = 10/(1 + 0.7746) = 5.635 cm
答え
x = 5.635 cm
電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 3.002 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.04/1.5 × 10⁷ = 2.667 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·4800/9.109 × 10⁻³¹ = 8.442 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·8.442 × 10¹⁴·(2.667 × 10⁻⁹)² = 0.003002 m = 3.002 mm
答え
y = 3.002 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.4307 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7.886 Ω
Req = R1 + 7.886 = 15 + 7.886 = 22.89 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 15/22.89 = 0.6554 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.6554·15 = 5.169 V
IR2 = VA/R2 = 5.169/12 = 0.4307 A
答え
IR2 = 0.4307 A
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 4.804 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 3 + 20 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 13.02 Ω
R3 + 13.02 = 43.02 Ω
R2 ∥ 43.02 = 2.804 Ω
Req = R1 + 2.804 = 2 + 2.804 = 4.804 Ω
答え
Req = 4.804 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: W(∞) = 33.84 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 47 mH / 5 Ω = 9.4 ms
i(∞) = Vs/R = 6/5 = 1.2 A
蓄積エネルギー
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·1.2² = 33.84 mJ
答え
W(∞) = 33.84 mJ
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 109.4 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ
時間について解く
4.8 = 5 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (4.8 − 5)/(4 − 5) = 0.2
t = τ·ln((4 − 5)/(4.8 − 5)) = 68·ln(5) = 109.4 ms
答え
t = 109.4 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: ε = 600 mV
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
1 巻きあたりの磁束の変化
ΔΦ = (0.7 − 0.1)·0.005 = 0.003 Wb
平均起電力
ε = NΔΦ/Δt = 10·0.003/0.05 = 0.6 V
答え
ε = 600 mV
8.磁場と電磁誘導
答え: W = 1.777 mJ
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
自己インダクタンス
L = μ₀N²A/l = 568.5 µH
蓄積エネルギー
W = ½LI² = ½·0.0005685·2.5² = 0.001777 J = 1.777 mJ
答え
W = 1.777 mJ
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: cos φ = 0.6238
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 18.85 Ω, XC = 56.44 Ω
インピーダンス
|Z| = √(30² + (−37.59)²) = 48.09 Ω
力率
cos φ = R/|Z| = 30/48.09 = 0.6238
回路は容量性なので、力率は進みです。
答え
cos φ = 0.6238
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 5.141 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (15.29)²) = 61.92 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 10/61.92 = 0.1615 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.1615·31.83 = 5.141 V
答え
VC = 5.141 V
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