物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++2 µC++5 µCP10 cm

+2 µC の電荷と +5 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 7.5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q1 = +2 µCq2 = +5 µCr1 = 7.5 cmr2 = 2.5 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
8 cm5 cm+q1​ = +3 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +6 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 3 µC は直角の頂点に、q₁ = 3 µC はそこから一方の辺に沿って 8 cm の位置に、q₂ = 6 µC はもう一方の辺に沿って 5 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 3 µCq2 = 6 µCq3 = 3 µCr13 = 8 cmr23 = 5 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​6 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 6 VR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 25 ΩR5 = 3 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​15 Vt = 0R = 100 ΩL150 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 50% に達するか。t を求めよ。

Vs = 15 VR = 100 ΩL = 150 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​10 VR1​ = 33 ΩR2​ = 15 Ωt = 0 で閉じるL68 mHi(t)

R2 の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R2 を短絡する。 t = 5 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

Vs = 10 VR1 = 33 ΩR2 = 15 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
7.磁場と電磁誘導ふつう
+vBF = ?

陽子 が、紙面の奥向き の一様な磁場の中を 紙面の上向き に動きます。それに働く磁気力の向きをクリックしてください。

v: 紙面の上向きB: 紙面の奥向き
  1. 1紙面の上向き
  2. 2右向き
  3. 3紙面の下向き
  4. 4左向き
8.磁場と電磁誘導むずかしい
L = 50 mH1 → 2.5 A

50 mH のインダクタの電流が、1 ms で 1 A から 2.5 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。

L = 50 mH1 A → 2.5 AΔt = 1 ms
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
100 V200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µFI

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF
P = W
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
10 V200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 10 µFI

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 10 µF
I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 6.872 × 10⁷ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.075² = 3.196 × 10⁶ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.025² = 7.192 × 10⁷ N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |3.196 × 10⁶ − 7.192 × 10⁷| = 6.872 × 10⁷ N/C

答え

E = 6.872 × 10⁷ N/C
2.クーロンの法則と電場

答え: F = 65.95 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·3·3 × 10⁻¹²/0.08² = 12.64 N
F2 = k·6·3 × 10⁻¹²/0.05² = 64.73 N

ベクトル和

F = √(12.64² + 64.73²) = 65.95 N

答え

F = 65.95 N
3.抵抗の直列・並列

答え: Req = 18.86 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 5·17/(5+17) = 3.864 Ω
Req = R1 + 3.864 = 15 + 3.864 = 18.86 Ω

答え

Req = 18.86 Ω
4.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 0.09782 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAR4​25 ΩBR6​6 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 3 + 6 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 6.618 Ω
R3 + 6.618 = 18.62 Ω
R2 ∥ 18.62 = 7.297 Ω
Req = R1 + 7.297 = 30 + 7.297 = 37.3 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 6/37.3 = 0.1609 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.1609·30 = 1.174 V
IR2 = VA/R2 = 1.174/12 = 0.09782 A

答え

IR2 = 0.09782 A
5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 1.04 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms
i(∞) = Vs/R = 15/100 = 0.15 A

時間について解く

0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −1.5·ln(0.5) = 1.04 ms

答え

t = 1.04 ms
6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.2947 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 10/(33 + 15) = 0.2083 A
i(∞) = 10/33 = 0.303 A
τ = L/R = 68/33 = 2.061 ms
i(t) = 0.303 + (0.2083 − 0.303)·e−t/τ

指定時刻の電流

i(5) = 0.303 + (−0.0947)·e−5/2.061 = 0.2947 A

答え

i = 0.2947 A
7.磁場と電磁誘導

答え: 左向き

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手の法則

指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。

v: 紙面の上向き, B: 紙面の奥向き

力の向き

左向き

答え

F: 左向き
8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 75 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

自己誘導起電力

起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。

ε = L·ΔI/Δt = 0.05·1.5/0.001 = 75 V

答え

ε = 75 V
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 91.51 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = 62.83 Ω, XC = 16.93 Ω

インピーダンス

|Z| = √(25² + (45.9)²) = 52.27 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 100/52.27 = 1.913 A
P = I²·R = 1.913²·25 = 91.51 W

答え

P = 91.51 W
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.0413 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.25 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (234.6)²) = 242.1 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/242.1 = 0.0413 A

答え

I = 0.0413 A

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