クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+8 µC の電荷と −3 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 15 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +8 µCq2 = −3 µCr1 = 15 cmr2 = 45 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+3 µC と −3 µC の電荷が 16 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 10 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +3 µCq2 = −3 µCd = 16 cmh = 10 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 30 ΩR5 = 12 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 50% に達するか。t を求めよ。
Vs = 20 VR = 68 ΩL = 33 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 8 V に充電されている。 t = 300 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 6 VR = 6.8 kΩC = 33 µFvC(0) = 8 Vt = 300 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
長さ 50 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.5 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 5 m/s で滑ります。レールは 5 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。電流 I を求めてください。
B = 0.5 TL = 50 cmv = 5 m/sR = 5 Ω
I = mA
8.磁場と電磁誘導むずかしい
200 巻き、20 cm × 5 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.05 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 2.221 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？
N = 200A = 20 cm × 5 cmB = 0.05 TErms = 2.221 V
n = rpm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 3.33 × 10⁶ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.15² = 3.196 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.45² = 133185 N/C
向きと合成
1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。
E = |3.196 × 10⁶ + 133185| = 3.33 × 10⁶ N/C
答え
E = 3.33 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 2.055 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(8² + 10²) = 12.81 cm
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.1281² = 1.645 × 10⁶ N/C
成分
二等分線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(a/r) = 2·1.645 × 10⁶·0.6247 = 2.055 × 10⁶ N/C
答え
E = 2.055 × 10⁶ N/C
電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 6.8 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 10 + 2 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω
Req = R1 + 4.8 = 2 + 4.8 = 6.8 Ω
答え
Req = 6.8 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 14.24 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 12 + 12 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 13.33 Ω
R3 + 13.33 = 28.33 Ω
R2 ∥ 28.33 = 6.239 Ω
Req = R1 + 6.239 = 8 + 6.239 = 14.24 Ω
答え
Req = 14.24 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: t = 0.3364 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0.4853 ms
i(∞) = Vs/R = 20/68 = 0.2941 A
時間について解く
0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −0.4853·ln(0.5) = 0.3364 ms
答え
t = 0.3364 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 6.525 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 33 µF = 224.4 ms
vC(t) = 6 + (8 − 6)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(300) = 6 + (2)·e−300/224.4 = 6.525 V
答え
vC = 6.525 V
7.磁場と電磁誘導
答え: I = 250 mA
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
運動起電力
ε = BLv = 0.5·0.5·5 = 1.25 V
電流
I = ε/R = 1.25/5 = 0.25 A
答え
I = 250 mA
8.磁場と電磁誘導
答え: n = 299.9 rpm
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
ピーク起電力
E₀ = √2·Erms = 3.141 V
角速度
ω = E₀/(NBA) = 3.141/(200·0.05·0.01) = 31.41 rad/s
毎分回転数
n = 60·31.41/(2π) = 299.9 rpm
答え
n = 299.9 rpm
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −51.69 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−18.99)²) = 24.2 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−18.99/15) = −51.69°
答え
φ = −51.69°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 100.3 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·2.2·10⁻⁶) = 1447 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−1441)²) = 1443 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 100/1443 = 0.06931 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.06931·1447 = 100.3 V
答え
VC = 100.3 V
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