クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+3 µC と +2 µC の電荷が 50 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+3 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。
q1 = +3 µCq2 = +2 µCd = 50 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 2 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 8 cm、極板間の電場は 400 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 400 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 95% に達するか。t を求めよ。
Vs = 24 VR = 68 ΩL = 150 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
R2 の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 10 ms でのコイルの電流 i を求めよ。
Vs = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩL = 100 mHt = 10 ms
i = A
7.磁場と電磁誘導ふつう
2 × 10⁶ m/s で動く 電子 が、一様な磁場に直角に入り、半径 0.1137 cm の円運動をします。磁束密度 B を求めてください。
m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sr = 0.1137 cm
B = mT
8.磁場と電磁誘導むずかしい
5 mH のインダクタの電流が、2 ms で 0 A から 5 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。
L = 5 mH0 A → 5 AΔt = 2 ms
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 22 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: x = 27.53 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
電場が等しい
3/x² = 2/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(2/3) = 0.8165
位置
x = 50/(1 + 0.8165) = 27.53 cm
答え
x = 27.53 cm
電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 0.5628 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.08/2 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·400/9.109 × 10⁻³¹ = 7.035 × 10¹³ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·7.035 × 10¹³·(4 × 10⁻⁹)² = 0.0005628 m = 0.5628 mm
答え
y = 0.5628 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.503 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7.879 Ω
Req = R1 + 7.879 = 12 + 7.879 = 19.88 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/19.88 = 0.503 A
答え
IR1 = 0.503 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.3107 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 8 + 25 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 5.077 Ω
R3 + 5.077 = 8.077 Ω
R2 ∥ 8.077 = 2.188 Ω
Req = R1 + 2.188 = 30 + 2.188 = 32.19 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/32.19 = 0.3107 A
答え
IR1 = 0.3107 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: t = 6.608 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2.206 ms
i(∞) = Vs/R = 24/68 = 0.3529 A
時間について解く
0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −2.206·ln(0.05) = 6.608 ms
答え
t = 6.608 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: i = 0.4043 A
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。
i(0) = 9/10 = 0.9 A
i(∞) = 9/(10 + 15) = 0.36 A
τ = L/R = 100/25 = 4 ms
i(t) = 0.36 + (0.9 − 0.36)·e−t/τ
指定時刻の電流
i(10) = 0.36 + (0.54)·e−10/4 = 0.4043 A
答え
i = 0.4043 A
7.磁場と電磁誘導
答え: B = 10 mT
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
半径から求める磁場
B = mv/(|q|r) = 9.109 × 10⁻³¹·2 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.001137) = 10 mT
答え
B = 10 mT
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 12.5 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
自己誘導起電力
起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。
ε = L·ΔI/Δt = 0.005·5/0.002 = 12.5 V
答え
ε = 12.5 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 80.68 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (152.3)²) = 154.4 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(152.3/25) = 80.68°
答え
φ = 80.68°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 36.22 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−59.78)²) = 99.87 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 50/99.87 = 0.5007 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.5007·72.34 = 36.22 V
答え
VC = 36.22 V
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