クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
3 つの点電荷が一直線上にある：左に −10 µC、そこから 30 cm 右に −3 µC、その間で左の電荷から 18 cm の位置に −5 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −10 µCqR = −3 µCqM = −5 µCrL = 18 cmrR = 12 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 4 µC は直角の頂点に、q₁ = 10 µC はそこから一方の辺に沿って 10 cm の位置に、q₂ = 1 µC はもう一方の辺に沿って 4 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 10 µCq2 = 1 µCq3 = 4 µCr13 = 10 cmr23 = 4 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。
Vs = 10 VR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 2 V に充電されている。 t = 400 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 9 VR = 6.8 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 Vt = 400 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
円形のループが、紙面の奥向き の一様な磁場の中にあります。磁場は強くなっています。図で見たループの誘導電流の向きをクリックしてください。
B: 紙面の奥向きdB/dt > 0
- 1時計回り
- 2反時計回り
8.磁場と電磁誘導むずかしい
陽子 が静止状態から 500 V の電位差で加速され、そのあと 0.5 T の一様な磁場に直角に入ります。磁場中での軌道の半径 r を求めてください。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0.5 T
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 4.509 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
各電荷からの力
右向きを正とします。
FL = +k·10·5 × 10⁻¹²/0.18² = 13.87 N
FR = −k·3·5 × 10⁻¹²/0.12² = −9.365 N
合力
F = 13.87 + (−9.365) = 4.509 N → |F| = 4.509 N
答え
F = 4.509 N
合力は右向きです。
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 42.41 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·10·4 × 10⁻¹²/0.1² = 35.96 N
F2 = k·1·4 × 10⁻¹²/0.04² = 22.47 N
ベクトル和
F = √(35.96² + 22.47²) = 42.41 N
答え
F = 42.41 N
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 3.778 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1.778 Ω
Req = R1 + 1.778 = 2 + 1.778 = 3.778 Ω
答え
Req = 3.778 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.878 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 8 + 2 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3.75 Ω
R3 + 3.75 = 23.75 Ω
R2 ∥ 23.75 = 7.972 Ω
Req = R1 + 7.972 = 8 + 7.972 = 15.97 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 30/15.97 = 1.878 A
答え
IR1 = 1.878 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: i = 0.09517 A
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0.33 ms
i(∞) = Vs/R = 10/100 = 0.1 A
指定時刻の電流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.1·(1 − e−1/0.33) = 0.09517 A
答え
i = 0.09517 A
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 5.113 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 9 + (2 − 9)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(400) = 9 + (−7)·e−400/680 = 5.113 V
答え
vC = 5.113 V
7.磁場と電磁誘導
答え: 反時計回り
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
磁束の変化
紙面の奥向きの磁束が増えるか、紙面の手前向きの磁束が減ります。
誘導電流がつくる磁場
誘導電流は変化を妨げます。
ループ内側の誘導磁場：紙面の手前向き。
電流の向き
右手の法則：反時計回りの電流は、ループの内側に紙面の手前向きの磁場をつくります。
反時計回り
答え
反時計回り
8.磁場と電磁誘導
答え: r = 0.6463 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速後の速さ
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·500/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 309445 m/s
磁場中での半径
r = mv/(|q|B) = 0.006463 m = 0.6463 cm
答え
r = 0.6463 cm
まとめると r = √(2mV/|q|)/B となり、電荷が同じなら重いイオンほど大きな円を描きます。これで同位体を分離します。
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 6.435 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−25.55)²) = 35.74 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 230/35.74 = 6.435 A
答え
I = 6.435 A
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 2.004 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (403.5)²) = 405.5 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 12/405.5 = 0.02959 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.02959·67.73 = 2.004 V
答え
VC = 2.004 V
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