物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++1 µC++6 µC++4 µC8 cm + 12 cm

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +1 µC、そこから 20 cm 右に +4 µC、その間で左の電荷から 8 cm の位置に +6 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +1 µCqR = +4 µCqM = +6 µCrL = 8 cmrR = 12 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+ + + + + +− − − − − −e⁻2.5 × 10⁷ m/s6 cmE = 2600 N/C

電子が 2.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 6 cm、極板間の電場は 2600 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。

v₀ = 2.5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩIR2​AR4​15 ΩB

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩIR2​AR4​5 ΩBR6​5 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 ΩR5 = 5 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​9 Vt = 0R = 22 ΩL68 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。

Vs = 9 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 5 V に充電されている。 t = 750 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 15 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 5 Vt = 750 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
nBA = 50 cm², N = 20B = 0.8 T

20 巻きのコイルの面積は 50 cm² です。コイルが、その面に垂直な 0.8 T の一様な磁場の中にあり、磁場が 100 ms で切られます。 平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 20A = 50 cm²B = 0.8 TΔt = 100 ms
ε = mV
8.磁場と電磁誘導むずかしい
N1​ = 1000, l = 25 cmN2​ = 100M = ?

100 巻きの短いコイルが、1000 巻き、長さ 25 cm、直径 5 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。両者の相互インダクタンス M を求めてください。

N1 = 1000N2 = 100l = 25 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
230 V60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 10 µF

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
120 V200 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 50 ΩC = 10 µFI

抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR1 = 25 ΩR2 = 50 ΩC = 10 µF
I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 6.555 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

FL = +k·1·6 × 10⁻¹²/0.08² = 8.428 N
FR = −k·4·6 × 10⁻¹²/0.12² = −14.98 N

合力

F = 8.428 + (−14.98) = −6.555 N → |F| = 6.555 N

答え

F = 6.555 N

合力は左向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: y = 1.317 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

極板間にいる時間

t = L/v₀ = 0.06/2.5 × 10⁷ = 2.4 × 10⁻⁹ s

横方向の加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2600/9.109 × 10⁻³¹ = 4.573 × 10¹⁴ m/s²

たわみ

y = ½·a·t² = ½·4.573 × 10¹⁴·(2.4 × 10⁻⁹)² = 0.001317 m = 1.317 mm

答え

y = 1.317 mm

電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。

3.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 4.484 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​15 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1.789 Ω
Req = R1 + 1.789 = 3 + 1.789 = 4.789 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 24/4.789 = 5.011 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 5.011·3 = 8.967 V
IR2 = VA/R2 = 8.967/2 = 4.484 A

答え

IR2 = 4.484 A
4.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 1.249 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​5 ΩBR6​5 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 5 + 5 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3.333 Ω
R3 + 3.333 = 9.333 Ω
R2 ∥ 9.333 = 2.27 Ω
Req = R1 + 2.27 = 5 + 2.27 = 7.27 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 12/7.27 = 1.651 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.651·5 = 3.747 V
IR2 = VA/R2 = 3.747/3 = 1.249 A

答え

IR2 = 1.249 A
5.RC・RL 過渡現象

答え: vL = 1.785 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3.091 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0.4091 A

コイルの電圧

t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−5/3.091 = 1.785 V

答え

vL = 1.785 V
6.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 7.889 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 15 + (5 − 15)·e−t/τ

指定時刻の電圧

vC(750) = 15 + (−10)·e−750/2200 = 7.889 V

答え

vC = 7.889 V
7.磁場と電磁誘導

答え: ε = 800 mV

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = 0.8·0.005 = 0.004 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 20·0.004/0.1 = 0.8 V

答え

ε = 800 mV
8.磁場と電磁誘導

答え: M = 987 µH

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

相互インダクタンス

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·100·0.001963/0.25 = 987 µH

答え

M = 987 µH
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −64.4 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−208.7)²) = 231.4 Ω

位相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−208.7/100) = −64.4°

答え

φ = −64.4°
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.849 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XC = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 35.85 − j22.52 Ω

合成インピーダンス

Z = 25 + 35.85 − j22.52 = 60.85 − j22.52 Ω
|Z| = √(60.85² + 22.52²) = 64.88 Ω

電流

I = V/|Z| = 120/64.88 = 1.849 A

答え

I = 1.849 A

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