物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が +5 µC と +1 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 40 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +1 µCr = 40 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 5 µC は直角の頂点に、q₁ = 1 µC はそこから一方の辺に沿って 10 cm の位置に、q₂ = 2 µC はもう一方の辺に沿って 5 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 1 µCq₂ = 2 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 10 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 24 VR = 20 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 4 V に充電されている。 v_C が 8.8 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.磁場と電磁誘導ふつう

電子が、紙面の手前向きの一様な磁場の中を紙面の下向きに動きます。それに働く磁気力の向きをクリックしてください。

v: 紙面の下向きB: 紙面の手前向き

1紙面の上向き
2右向き
3紙面の下向き
4左向き

8.磁場と電磁誘導むずかしい

100 巻きの短いコイルが、1500 巻き、長さ 20 cm、直径 5 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。両者の相互インダクタンス M を求めてください。

N₁ = 1500N₂ = 100l = 20 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = mH

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコイルが並列に、100 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 100 mH

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩC = 22 µF

I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 0.5057 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (5 + 1)/2 = 3 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0.4² = 0.5057 N

答え

F = 0.5057 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 36.24 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·1·5 × 10⁻¹²/0.1² = 4.495 N

F₂ = k·2·5 × 10⁻¹²/0.05² = 35.96 N

ベクトル和

F = √(4.495² + 35.96²) = 36.24 N

答え

F = 36.24 N

3.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 21.75 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1.75 Ω

R_eq = R₁ + 1.75 = 20 + 1.75 = 21.75 Ω

答え

R_eq = 21.75 Ω

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.6565 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 3.75 Ω

R₃ + 3.75 = 15.75 Ω

R₂ ∥ 15.75 = 9.663 Ω

R_eq = R₁ + 9.663 = 8 + 9.663 = 17.66 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/17.66 = 1.699 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.699·8 = 16.41 V

I_R2 = V_A/R₂ = 16.41/25 = 0.6565 A

答え

I_R2 = 0.6565 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 1.038 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms

i(∞) = V_s/R = 24/20 = 1.2 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1.2·(1 − e^−10/5) = 1.038 A

答え

i = 1.038 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: t = 756.4 ms

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 10 + (4 − 10)·e^−t/τ

時間について解く

8.8 = 10 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8.8 − 10)/(4 − 10) = 0.2

t = τ·ln((4 − 10)/(8.8 − 10)) = 470·ln(5) = 756.4 ms

答え

t = 756.4 ms

7.磁場と電磁誘導

答え: 右向き

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手の法則

指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。

v: 紙面の下向き, B: 紙面の手前向き

負電荷

電子に働く力は、正電荷に働く力と逆向きです。

力の向き

右向き

答え

F: 右向き

8.磁場と電磁誘導

答え: M = 1.851 mH

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

相互インダクタンス

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·100·0.001963/0.2 = 1.851 mH

答え

M = 1.851 mH

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 3.593 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = ωL = 2π·50·0.1 = 31.42 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 100/60 = 1.667 A

I_X = V/X_L = 100/31.42 = 3.183 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.667² + 3.183²) = 3.593 A

答え

I = 3.593 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.7633 A

リアクタンス

X_C = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 17.77 − j14.74 Ω

合成インピーダンス

Z = 10 + 17.77 − j14.74 = 27.77 − j14.74 Ω

|Z| = √(27.77² + 14.74²) = 31.44 Ω

電流

I = V/|Z| = 24/31.44 = 0.7633 A

答え

I = 0.7633 A

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